Với giá trị lớn nhất của \(a\) bằng bao nhiêu để phương trình \(a{\sin ^2}x + 2\sin 2x + 3a{\cos

Câu hỏi số 292584:

Vận dụng

Với giá trị lớn nhất của \(a\) bằng bao nhiêu để phương trình \(a{\sin ^2}x + 2\sin 2x + 3a{\cos ^2}x = 2\) có nghiệm?

A. \(2\)

B. \(\frac{{11}}{3}\)

C. \(4\)

D. \(\frac{8}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:292584

Phương pháp giải

Biến đổi \({\sin ^2}x\);\({\cos ^2}x\) về \(\cos 2x\)

Đưa phương trình đã cho về dạng \(a\sin 2x + b\cos 2x = c.\)

Khi đó phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}.\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;a{\sin ^2}x + 2\sin 2x + 3a{\cos ^2}x = 2\\ \Leftrightarrow a.\frac{{1 - \cos 2x}}{2} + 2\sin 2x + 3a.\frac{{1 + \cos 2x}}{2} = 2\\ \Leftrightarrow 4\sin 2x + 2a\cos 2x = 4 - 4a\\ \Leftrightarrow 2\sin 2x + a\cos 2x = 2 - 2a\;\;\;\left( * \right)\end{array}\).

Phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4 + {a^2} \ge {\left( {2 - 2a} \right)^2} \Leftrightarrow 4 + {a^2} \ge 4 - 8a + 4{a^2}\\ \Leftrightarrow 3{a^2} - 8a \le 0 \Leftrightarrow 0 \le a \le \frac{8}{3}.\end{array}\)

Vây \({a_{\max }} = \frac{8}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.