Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({\cos ^3}2x - {\cos ^2}2x =

Câu hỏi số 292589:

Vận dụng

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({\cos ^3}2x - {\cos ^2}2x = m{\sin ^2}x\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;{\mkern 1mu} \frac{\pi }{6}} \right)\)?

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:292589

Phương pháp giải

Giải phương trình bằng cách phân tích nhân tử đưa về dạng \(\cos x = m.\)

Kết hợp điều kiện của x để tìm khoảng của m.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{\cos ^3}2x - {\cos ^2}2x = m{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}2x\left( {\cos 2x - 1} \right) = m{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}2x.\left( { - 2{{\sin }^2}x} \right) = m{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x\left( {2{{\cos }^2}2x + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sin ^2}x = 0\\2{\cos ^2}2x + m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\\cos 4x + 1 + m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\\cos 4x = - m - 1\;\;\;\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có \(x = k\pi \) không có nghiệm \(x \in \left( {0;\;\frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow \) phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;\;\frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow \left( * \right)\) có nghiệm \(x \in \left( {0;\;\frac{\pi }{6}} \right).\)

Có \(x \in \left( {0;{\mkern 1mu} \frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow 4x \in \left( {0;{\mkern 1mu} \frac{{2\pi }}{3}} \right) \Rightarrow - \frac{1}{2} < \cos 4x < 1\)

Để phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;{\mkern 1mu} \frac{\pi }{6}} \right)\) thì \( - \frac{1}{2} < - m - 1 < 1 \Leftrightarrow - 2 < m < - \frac{1}{2}.\)

Do \(m \in Z\) nên \(m = - 1\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.