Cho phương trình \(4\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\)\( = {a^2} +

Câu hỏi số 292596:

Vận dụng

Cho phương trình \(4\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\)\( = {a^2} + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x\)\(\left( 1 \right)\). Gọi \(n\) là số giá trị nguyên của tham số \(a\) để phương trình \(\left( 1 \right)\)có nghiệm. Tính \(n\).

A. \(n = 5\)

B. \(n = 3\)

C. \(n = 2\)

D. \(n = 1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:292596

Phương pháp giải

Công thức lượng giác \(2\sin a.\cos b = \sin (a + b) + \sin (a - b)\)

Biến đổi phương trình ban đầu về dạng \(\cos f\left( x \right) = f\left( a \right).\)

Sử dụng điều kiện của \( - 1 \le \cos x \le 1.\)

Giải điều kiện tìm a.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2\left( {\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + \sin \frac{\pi }{2}} \right) = {a^2} + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + 1 = \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x - \frac{1}{2}\cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + 1 = \frac{{{a^2}}}{2} + \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) - \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{{a^2}}}{2} - 1 \Leftrightarrow 2\cos 2x.\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{{a^2}}}{2} - 1 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{{{a^2}}}{2} - 1\end{array}\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow - 1 \le \frac{{{a^2}}}{2} - 1 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \frac{{{a^2}}}{2} \le 2 \Leftrightarrow 0 \le {a^2} \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le a \le 2\)

Do \(a \in Z\) nên \(a = 0;a = \pm 1;a = \pm 2\)

Vậy \(n = 5\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.