Phương trình \(\frac{{\left( {1 + \sin x + c{\rm{os}}2x} \right)\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{1 +

Câu hỏi số 293274:

Vận dụng cao

Phương trình \(\frac{{\left( {1 + \sin x + c{\rm{os}}2x} \right)\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{1 + \tan x}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x\) có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\)?

A. 3

B. 4

C. 2

D. 5

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:293274

Phương pháp giải

+) Đưa về phương trình tích.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\tan x \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne - \frac{\pi }{4} + m\pi \end{array} \right.\left( {k,\;m \in \mathbb{Z}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\frac{{\left( {1 + \sin x + \cos 2x} \right)\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{1 + \tan x}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \sin x + \cos 2x} \right)\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {1 + \sin x + \cos 2x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sin x + \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\cos 2x + \sin x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\\cos 2x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\2x = \frac{\pi }{2} + x + m2\pi \\2x = - \frac{\pi }{2} - x + l2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\,\,\left( 1 \right)\\x = \frac{\pi }{2} + m2\pi \,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{l2\pi }}{3}\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\left( {k,\;m,\;l \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Dựa vào điều kiện, họ nghiệm (1) và (2) không phù hợp.

Họ nghiệm (3): Xét \(l = 3a + r,\,\;a \in \mathbb{Z},\,\;r \in \left\{ {0;\;1;\;2} \right\},\;\) thấy với \(r = 1\) không thõa mãn điều kiện.

Nghiệm phương trình là: \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{7\pi }}{6} + a2\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + a2\pi \end{array} \right.\left( {a \in \mathbb{Z}} \right)\).

Phương trình có nghiệm \(x \in \left( { - \pi ;\;\pi } \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \pi < \frac{{7\pi }}{6} + a2\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{{13}}{{12}} < a < - \frac{1}{{12}} \Leftrightarrow a = - 1\\ - \pi < - \frac{\pi }{6} + a2\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} < a < \frac{7}{{12}} \Leftrightarrow a = 0\end{array} \right.\)

Phương trình có 2 nghiệm thõa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.