Cho đường tròn \((O,R)\,\)và đường thẳng \(d\) cố định không cắt đường tròn. Từ một

Câu hỏi số 293391:

Vận dụng

Cho đường tròn \((O,R)\,\)và đường thẳng \(d\) cố định không cắt đường tròn. Từ một điểm \(A\) bất kì trên đường thẳng \(d\) kẻ tiếp tuyến \(AB\) với đường tròn (\(B\) là tiếp điểm). Từ \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AO\) tại \(H\), trên tia đối của tia \(HB\) lấy điểm \(C\) sao cho \(HC = HB\).

a) Chứng minh \(C\) thuộc đường tròn \((O,R)\,\)và \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O,R)\,\).

b) Từ \(O\) kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(d\) tại \(I\), \(OI\) cắt \(BC\) tại \(K\). Chứng minh \(OH.OA = OI.OK = {R^2}\).

c) Chứng minh khi \(A\) thay đổi trên đường thẳng \(d\) thì đường thẳng \(BC\) luôn đi qua một điểm cố định.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:293391

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai tam giác \(\Delta BHO = \Delta CHO\) từ đó suy ra \(OB = OC = R\) hay \(C\) thuộc đường tròn.

+) Dựa vào tính chất và định nghĩa của tiếp tuyến để chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh hệ thức cần chứng minh.

c) Chứng minh \(OK\) bằng một giá trị không đổi. Khi đó ta chứng minh được điểm \(K\) cố định và chứng minh được yêu cầu bài toán.

Giải chi tiết

a) +) Chứng minh \(C\) thuộc đường tròn \(\left( O \right):\)

Xét \(\Delta BHO\) và \(\Delta CHO\) ta có:

\(\begin{array}{l}OH\;\;chung\\\angle OHB = \angle OHC = {90^0}\\BH = HC\;\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BHO = \Delta CHO\;\;\left( {c - g - c} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow OB = OC = R\) (hai cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow C\) thuộc đường tròn \(\left( O \right).\) (đpcm)

+) Chứng minh \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right):\)

Ta có: \(\Delta BHO = \Delta CHO\;\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle BOH = \angle COH\) (hai góc tương ứng).

Xét \(\Delta ABO\) và \(\Delta ACO\) ta có:

\(\begin{array}{l}BO = OC\;\left( { = R} \right)\\\angle BOA = \angle COA\;\;\left( {cmt} \right)\\OA\;\;chung\\ \Rightarrow \Delta ABO = \Delta ACO\;\;\left( {c - g - c} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle ABO = \angle ACO = {90^0}\) (hai góc tương ứng)

Hay \(OC \bot AC\)

\( \Rightarrow AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(C.\) (đpcm)

b) Xét \(\Delta OHK\) và \(\Delta OIA\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle KOH\;\;chung\\\angle OIA = \angle OHK = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta OHK \sim \Delta OIA\;\;\left( {g - g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{{OH}}{{OI}} = \frac{{OK}}{{OA}} \Rightarrow OH.OA = OK.OI\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Xét \(\Delta ABO\)vuông tại \(B\) có đường cao\(BH\) ta có:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow B{O^2} = OH.OA\,\,\, \Rightarrow OH.OA = {R^2}\\ \Rightarrow OH.OA = OI.OK = {R^2}\;\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

c) Theo câu b) ta có: \(OI.OK = {R^2}\,\, \Rightarrow OK = \frac{{{R^2}}}{{OI}}\) không đổi.

Mà \(K\) thuộc \(OI\) cố định nên \(K\) cố định.

Vậy khi \(A\) thay đổi trên đường thẳng \(d\) thì đường thẳng \(BC\) luôn đi qua điểm \(K\) cố định.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link