Gọi \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} - 2(m - 1)x + 2m - 6 = 0\). Tìm tất cả các giá
Gọi \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} - 2(m - 1)x + 2m - 6 = 0\). Tìm tất cả các giá trị của m nguyên dương để \(A = {\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2}\) có giá trị nguyên.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
+) Sử dụng định lý Vi-et để biến biểu thức A thành chứa toàn m.
Gọi \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} - 2(m - 1)x + 2m - 6 = 0\). Tìm tất cả các giá trị của m nguyên dương để \(A = {\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2}\) có giá trị nguyên.
Ta có : \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - 2m + 6 > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 7 > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} + 3 > 0\;\;\forall x\)
\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)
Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} = 2m - 6\end{array} \right.\)
Theo đề bài ta có :
\(\begin{array}{l}A = {\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} = \frac{{x_1^4 + x_2^4}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}^2} - 2x_1^2x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{{\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}^2} - 2{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}\;\;\\ = \frac{{{{\left[ {4{{\left( {m - 1} \right)}^2} - 2\left( {2m - 6} \right)} \right]}^2} - 2{{\left( {2m - 6} \right)}^2}}}{{{{\left( {2m - 6} \right)}^2}}}\;\;\;\;\;\;\left( {m \ne 3} \right)\\ = \frac{{{{\left( {4{m^2} - 8m + 4 - 4m + 12} \right)}^2}}}{{{{\left( {2m - 6} \right)}^2}}} - 2\\ = {\left( {\frac{{4{m^2} - 12m + 16}}{{2m - 6}}} \right)^2} - 2 = {\left( {\frac{{2{m^2} - 6m + 8}}{{m - 3}}} \right)^2} - 2\\ \Rightarrow A \in Z \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {\frac{{2{m^2} - 6m + 8}}{{m - 3}}} \right)}^2} - 2} \right] \in Z\\ \Leftrightarrow \frac{{2{m^2} - 6m + 8}}{{m - 3}} \in Z\\ \Rightarrow \left( {2{m^2} - 6m + 8} \right)\; \vdots \;\left( {m - 3} \right)\end{array}\)
Ta có : \(2{m^2} - 6m + 8 = 2m\left( {m - 3} \right) + 8\)
Ta thấy : \(2m\left( {m - 3} \right)\; \vdots \;\left( {m - 3} \right)\;\;\forall m \ne 3\)
\( \Rightarrow \left( {2{m^2} - 6m + 8} \right)\; \vdots \;\left( {m - 3} \right) \Leftrightarrow 8\; \vdots \;\left( {m - 3} \right)\) hay \(\left( {m - 3} \right) \in U\left( 8 \right) \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right) \in \left\{ { \pm 1;\; \pm 2;\; \pm 4;\; \pm 8} \right\}\)
Ta có bảng giá trị :
Kết hợp với điều kiện \(m \ne 3\) ta có các giá trị thỏa mãn bài toán là : \(m \in \left\{ { - 5; - 1;\;1;\;2;\;4;\;5;\;7;\;11} \right\}.\)
Đáp án cần chọn là: B
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
