Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) của phương trình: \(\sqrt 2

Câu hỏi số 293883:

Vận dụng

Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) của phương trình: \(\sqrt 2 \cos 3x = \sin x + \cos x.\)

A. \(\frac{\pi }{2}\)

B. \(3\pi \)

C. \(\frac{{3\pi }}{2}\)

D. \(\pi \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:293883

Phương pháp giải

+) Sử dụng công thức: \(a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x} \right) = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sin (x + \alpha )\)

+) Đưa về hàm \(\cos x = \cos a \Leftrightarrow x = \pm a + k2\pi .\)

+) Tìm được nghiệm của phương trình, ta tìm nghiệm thuộc \(\left( {0;\;\pi } \right).\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\sqrt 2 \cos 3x = \sin x + \cos x \Leftrightarrow \cos 3x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sin x + \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow \cos 3x = \cos x.\cos \frac{\pi }{4} + \sin x.\sin \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = x - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x = - x + \frac{\pi }{4} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{8} + k\pi \\x = \frac{\pi }{{16}} + m\frac{\pi }{2}\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {k,\;m \in Z} \right)\end{array}\)\(\)\(\).

Phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;\,\pi } \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < - \frac{\pi }{8} + k\pi < \pi \\0 < \frac{\pi }{{16}} < m\frac{\pi }{2} < \pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{8} < k < \frac{9}{8} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \frac{{7\pi }}{8}\\ - \frac{1}{8} < m < \frac{{15}}{8} \Rightarrow m \in \left\{ {0;\,1} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{{16}};\,\frac{{9\pi }}{{16}}} \right\}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow S = \frac{{7\pi }}{8} + \frac{\pi }{{16}} + \frac{{9\pi }}{{16}} = \frac{{3\pi }}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.