Cho phương trình \(\log _2^2x + \sqrt {\log _2^2x + 2} - m - 1 = 0\). Tất cả các giá trị của tham số m

Câu hỏi số 293942:

Vận dụng

Cho phương trình \(\log _2^2x + \sqrt {\log _2^2x + 2} - m - 1 = 0\). Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm \(x \in \left[ {1;{2^{\sqrt 2 }}} \right]\) là:

A. \( - \dfrac{{13}}{4} \le m \le 3\).

B. \( - 1 + \sqrt 2 < m < 3\).

C. \( - \dfrac{{13}}{4} < m < 3\).

D. \( - 1 + \sqrt 2 \le m \le 3\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:293942

Phương pháp giải

+) Đặt \(t = \log _2^2x\), xác định khoảng giá trị \(\left[ {a;b} \right]\) của t theo x.

+) Cô lập m, đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\).

+) Phương trình \(f\left( t \right) = m\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( t \right) \le m \le \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( t \right)\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = \log _2^2x = f\left( x \right),\,\,x \in \left[ {1;{2^{\sqrt 2 }}} \right]\), \(f'\left( x \right) = 2{\log _2}x.\dfrac{1}{{x.\ln 2}} > 0,\,\,\forall x \in \left[ {1;{2^{\sqrt 2 }}} \right]\)\( \Rightarrow f\left( 1 \right) \le t \le f\left( {{2^{\sqrt 2 }}} \right) \Leftrightarrow 0 \le t \le 2\)

Phương trình \(\log _2^2x + \sqrt {\log _2^2x + 2} - m - 1 = 0\) (1) trở thành:

\(t + \sqrt {t + 2} - m - 1 = 0,\,\,t \in \left[ {0;2} \right]\)\( \Leftrightarrow m = t + \sqrt {t + 2} - 1\)

Xét hàm số \(g\left( t \right) = t + \sqrt {t + 2} - 1,\,\,t \in \left[ {0;2} \right]\) ta có:

\(g'\left( t \right) = 1 + \dfrac{1}{{2\sqrt {t + 2} }} > 0,\forall t \in \left[ {0;2} \right] \Rightarrow \,\)Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right]\)

\( \Rightarrow g\left( 0 \right) \le g\left( t \right) \le g\left( 2 \right)\,\, \Leftrightarrow \sqrt 2 - 1 \le g\left( t \right) \le 3\)

\( \Rightarrow \) Để phương trình đã cho có nghiệm thì \( - 1 + \sqrt 2 \le m \le 3\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.