Cho hai số thực dương x, y thoả mãn \(2 + 2{\log _2}x = \dfrac{1}{2}{\log _{\sqrt 2 }}y\). Giá trị nhỏ

Câu hỏi số 293944:

Vận dụng

Cho hai số thực dương x, y thoả mãn \(2 + 2{\log _2}x = \dfrac{1}{2}{\log _{\sqrt 2 }}y\). Giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của \(P = 10{x^2} - 2\left( {x + y} \right) - 3\) là:

A. \({P_{\min }} = - \dfrac{1}{9}\).

B. \({P_{\min }} = - 3\).

C. \({P_{\min }} = - \dfrac{7}{2}\).

D. \({P_{\min }} = \dfrac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:293944

Phương pháp giải

+) Đưa về cùng cơ số, sử dụng công thức \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\,\,\left( {0 < a \ne 1;\,\,x,y > 0} \right)\).

+) Khi đó \({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) > 0\).

+) Đưa biểu thức P về dạng tam thức bậc hai ẩn t. Tìm GTNN của P

Giải chi tiết

ĐK: \(x > 0;\,\,y > 0\).

Ta có: \(2 + 2{\log _2}x = \dfrac{1}{2}{\log _{\sqrt 2 }}y \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4{x^2}} \right) = {\log _2}y \Leftrightarrow y = 4{x^2}\)

Khi đó, \(P = 10{x^2} - 2\left( {x + y} \right) - 3 = 10{x^2} - 2\left( {x + 4{x^2}} \right) - 3 = 2{x^2} - 2x - 3 = 2{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{7}{2} \ge - \dfrac{7}{2}\)

\( \Rightarrow {P_{\min }} = - \dfrac{7}{2}\) khi và chỉ khi \(x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \,y = 4{x^2} = 1.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.