Cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 6x - 8y - 11 = 0\). Phép biến hình F có được

Câu hỏi số 294203:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 6x - 8y - 11 = 0\). Phép biến hình F có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow v = \left( {2; - 1} \right)\), phép vị tự tâm I(3; 2) tỷ số k = –\(\dfrac{1}{2}\), phép quay tâm O góc quay –90⁰. Khi đó qua phép biến hình F đường tròn (C) biến thành đường tròn có phương trình ?

A. \({\left( {x + 1,5} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).

B. \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 36\).

C. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1,5} \right)^2} = 9\).

D. \({\left( {x - 1,5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:294203

Phương pháp giải

\(\begin{array}{l}{T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {MM'} = \overrightarrow v \\{V_{\left( {I;k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'} = k\overrightarrow {IM} \end{array}\)

Biểu thức tọa độ của phép quay tâm O, góc quay \(\alpha \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha \\y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha \end{array} \right.\)

Giải chi tiết

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(J\left( {3;4} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {9 + 16 + 11} = 6\).

+) Gọi \(J' = {T_{\overrightarrow v }}\left( J \right) \Rightarrow J'\left( {3 + 2;4 - 1} \right) \Rightarrow J'\left( {5;3} \right)\).

\( \Rightarrow \) Ảnh của đường tròn \(\left( C \right)\) qua \({T_{\overrightarrow v }}\) là đường tròn \(\left( {C'} \right)\) tâm \(J'\left( {5;3} \right)\), bán kính \(R = 6\).

+) Gọi \(J''\left( {x;y} \right) = {V_{\left( {I; - \dfrac{1}{2}} \right)}}\left( {J'} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IJ''} = - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {IJ'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 = - \dfrac{1}{2}\left( {5 - 3} \right)\\y - 2 = - \dfrac{1}{2}\left( {3 - 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow J''\left( {2;\dfrac{3}{2}} \right)\)

\( \Rightarrow \) Ảnh của đường tròn \(\left( {C'} \right)\) qua \({V_{\left( {I; - \dfrac{1}{2}} \right)}}\) là đường tròn \(\left( {C''} \right)\) tâm \(J''\left( {2;\dfrac{3}{2}} \right)\), bán kính \(R' = \dfrac{1}{2}R = 3\).

+) Gọi \(J'''\left( {x';y'} \right) = {Q_{\left( {O; - {{90}^0}} \right)}}\left( {J''} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 2.\cos \left( { - {{90}^0}} \right) - \dfrac{3}{2}\sin \left( { - {{90}^0}} \right) = \dfrac{3}{2}\\y' = 2\sin \left( { - {{90}^0}} \right) + \dfrac{3}{2}\cos \left( { - {{90}^0}} \right) = - 2\end{array} \right. \Rightarrow J'''\left( {\dfrac{3}{2}; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow \) Ảnh của đường tròn \(\left( {C''} \right)\) qua \({V_{\left( {I; - \dfrac{1}{2}} \right)}}\) là đường tròn \(\left( {C'''} \right)\) tâm \(J''\left( {\dfrac{3}{2}; - 2} \right)\), bán kính \(R' = 3\).

Vây phương trình đường tròn \(\left( {C'''} \right):\,\,{\left( {x - 1,5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.