Cho \((P)\) là đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2},\,\,\,(d)\) là đồ thị hàm số \(y = 2x\) và

Câu hỏi số 295669:

Vận dụng

Cho \((P)\) là đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2},\,\,\,(d)\) là đồ thị hàm số \(y = 2x\) và \((d')\) là đồ thị hàm số \(y = - x\).

a) Vẽ đồ thị của các hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2},\,\,\,y = 2x,\,\,\,y = - x\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Các đồ thị \((P),\,\,(d)\,\)và \(\,(d')\) có một điểm chung là gốc tọa độ \(O\). Gọi \(A\) là giao điểm thứ hai của \((P)\) và \((d)\), gọi \(B\) là giao điểm thứ hai của \((P)\) và \((d')\). Chứng minh rằng tam giác \(OAB\) vuông và tính diện tích tam giác \(OAB\) (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:295669

Phương pháp giải

a) Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị các hàm số trên cùng hệ trục.

b) Tìm tọa độ các điểm A và B.

+) Tam giác OAB vuông tại B khi \(O{B^2} + A{B^2} = O{A^2}.\) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông: \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OB.AB.\)

Giải chi tiết

Cho \((P)\) là đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2},\,\,\,(d)\) là đồ thị hàm số \(y = 2x\) và \((d')\) là đồ thị hàm số \(y = - x\).

a) +) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\):

Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\) là đường cong nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng và đi qua các điểm \((0;\,\,0);\,\,\,\left( {1;\frac{{ - 1}}{2}} \right);\,\,\,\left( { - 1;\frac{{ - 1}}{2}} \right);\;\left( { - 2;\; - 2} \right);\;\left( {2;\;2} \right).\)

+) Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2x\)

Đồ thị hàm số \(y = 2x\) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ \((0;\,\,0)\) và điểm \((1;\,\,2)\).

+) Vẽ đồ thị hàm số \(y = - x\)

Đồ thị hàm số \(y = - x\) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ \((0;\,\,0)\) và điểm \((1;\,\, - 1)\).

b) Hoành độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) là nghiệm của phương trình:

\(\begin{array}{l}\;\; - \frac{1}{2}{x^2} = 2x \Leftrightarrow \frac{1}{2}{x^2} + 2x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {\frac{1}{2}x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\frac{1}{2}x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 4\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(x = - 4\,\, \Rightarrow y = - 8\)

Vậy giao điểm thứ hai của \((P)\) và \((d)\) là\(A\,( - 4;\,\, - 8)\)

+) Hoành độ giao điểm của \((P)\) và \((d')\) là nghiệm của phương trình:

\(\begin{array}{l}\;\; - \frac{1}{2}{x^2} = - x \Leftrightarrow - \frac{1}{2}{x^2} + x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( { - \frac{1}{2}x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\ - \frac{1}{2}x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(x = 2\,\, \Rightarrow y = - 2\)

Vậy giao điểm thứ hai của \((P)\) và \((d')\) là \(B\,(2;\,\, - 2)\).

+) Ta có: \(O{A^2} = {4^2} + {8^2} = 80\,\,\,;\,\,\,\,\,O{B^2} = {2^2} + {2^2} = 8\,\,\,;\,\,\,\,A{B^2} = {(4 + 2)^2} + {(8 - 2)^2} = 72\)

\( \Rightarrow O{A^2} = O{B^2} + A{B^2}\)

\( \Rightarrow \) Tam giác \(OAB\) vuông tại \(B\)

Ta có \(OB = 2\sqrt 2 \,cm\,\,;\,\,\,AB = 6\sqrt 2 \,cm.\)

Diện tích tam giác \(OAB\) là \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OB.AB = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .6\sqrt 2 = 12\,\,(c{m^2})\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link