Cho góc \(\angle xAy = {60^0}\) và \((O)\) là đường tròn tiếp xúc với tia \(Ax\) tại \(B\) và tiếp

Câu hỏi số 295672:

Vận dụng

Cho góc \(\angle xAy = {60^0}\) và \((O)\) là đường tròn tiếp xúc với tia \(Ax\) tại \(B\) và tiếp xúc với tia \(Ay\) tại \(C\). Trên cung nhỏ \(BC\) của đường tròn \((O)\) lấy điểm \(M\) và gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(BC,\,\,CA,\,\,AB\).

a) Chứng minh tứ giác \(CDME\) là tứ giác nội tiếp.

b) Tính số đo của góc \(\angle EDF\).

c) Chứng minh rằng \(M{D^2} = ME.MF\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:295672

Phương pháp giải

+) Chứng minh tứ giác nội tiếp nhờ các dấu hiệu nhận biết.

+) Sử dụng các tính chất của tứ giác nội tiếp để tính số đo các góc.

+) Sử dụng tỉ lệ các cạnh của tam giác đồng dạng để chứng minh tỉ lệ đề bài yêu cầu.

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle CDM = {90^0}\;\;\left( {do\;\;MD \bot BC} \right)\\\angle CEM = {90^0}\;\;\left( {do\;\;ME \bot AC} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle CDM + \angle CEM = {180^0}\)

\( \Rightarrow \)\(CDME\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Từ câu a ta có \(\angle MDE = \angle MCE\) (cùng chắn cung \(ME\) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDME )

Mà \(\angle MCE = \angle MBC\) (cùng chắn cung \(MC\) của đường tròn \((O)\))

\( \Rightarrow \angle MDE = \angle MBC\,\,\,\,(1)\)

Tương tự câu a ta cũng có tứ giác \(BDMF\) nội tiếp nên ta có:

\(\angle MDE = \angle MBF\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\) (cùng chắn cung \(MF\) của đường tròn \((BDME)\))

Từ (1) và (2) ta suy ra:

\(\angle EDF = \angle MDE + \angle MDF = \angle MBC + \angle MBF = \angle CBA = {60^0}\) (vì tam giác \(ABC\) đều do có \(AB = AC\) và \(\angle BAC = {60^0}\) )

c) Ta có \(\angle MED = \angle MCD\) (cùng chắn cung \(MD\) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(CDME\))

Mà \(\angle MCD = \angle MBF\) (cùng chắn cung \(MB\) của đường tròn \((O)\))

Kết hợp (2) \( \Rightarrow \angle MED = \angle MDF\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)

Từ (1): \(\angle MDE = \angle MBC\)

Mà \(\angle MBC = \angle MFD\) (cùng chắn cung \(MD\) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BDMF\))

\( \Rightarrow \angle MDE = \angle MFD\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(\Delta MDE \sim \Delta MFD\;\;\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{MD}}{{MF}} = \frac{{ME}}{{MD}}\,\, \Rightarrow M{D^2} = ME.MF\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link