Gọi S là tập các giá trị dương của tham số m sao cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 27x + 3m - 2\)

Câu hỏi số 297984:

Vận dụng

Gọi S là tập các giá trị dương của tham số m sao cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 27x + 3m - 2\) đạt cực trị tại \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \le 5\). Biết \(S = \left( {a;b} \right]\). Tính \(T = 2b - a\) ?

A. \(T = \sqrt {51} + 6\)

B. \(T = \sqrt {61} + 3\)

C. \(T = \sqrt {61} - 3\)

D. \(T = \sqrt {51} - 6\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:297984

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện để hàm số có 2 cực trị \(\left( {{\Delta _{y' = 0}} > 0} \right)\).

+) Sử dụng định lí Vi-ét.

Giải chi tiết

TXĐ : \(D = R\)

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6mx + 27\)

Để hàm số có 2 điểm cực trị \({x_1};{x_2} \Rightarrow \) Phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.

Ta có \(\Delta ' = 9{m^2} - 81 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < - 3\end{array} \right.\)

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = 9\end{array} \right.\).

Theo bài ta có :

\(\begin{array}{l}\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \le 5 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} \le 25 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \le 25\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 36 \le 25 \Leftrightarrow {m^2} \le \dfrac{{61}}{4} \Leftrightarrow - \dfrac{{\sqrt {61} }}{2} \le m \le \dfrac{{\sqrt {61} }}{2}\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ta có \(m \in \left( {3;\dfrac{{\sqrt {61} }}{2}} \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = \dfrac{{\sqrt {61} }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow T = 2b - a = \sqrt {61} - 3\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.