Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\cos 2x - {\tan ^2}x = \dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\cos

Câu hỏi số 297999:

Vận dụng

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\cos 2x - {\tan ^2}x = \dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\cos }^3}x - 1}}{{{{\cos }^2}x}}\) trên đoạn \(\left[ {1;70} \right]\).

A. \(188\pi \)

B. \(263\pi \)

C. \(363\pi \)

D. \(365\pi \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:297999

Phương pháp giải

Quy đồng, sử dụng công thức nhân đôi, đưa phương trình về dạng tích và giải phương trình lượng giác cơ bản, sai đó tìm nghiệm thuộc \(\left[ {1;70} \right]\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\cos 2x - {\tan ^2}x = \dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\cos }^3}x - 1}}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right){{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\cos }^3}x - 1}}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right){\cos ^2}x - {\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\cos ^3}x - 1\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}x\left( {2{{\cos }^2}x - 1 + \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 + \cos x = 0\,\,\left( {Do\,\,\cos x \ne 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\cos x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + m2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{3} + n2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k,m,n \in Z} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\pi + k2\pi \in \left[ {1;70} \right] \Leftrightarrow 1 \le \pi + k2\pi \le 70\,\,\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \pi }}{{2\pi }} \le k \le \dfrac{{70 - \pi }}{{2\pi }}\,\,\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1;2;...;10} \right\}\\\dfrac{\pi }{3} + m2\pi \in \left[ {1;70} \right] \Leftrightarrow 1 \le \dfrac{\pi }{3} + m2\pi \le 70\,\,\left( {m \in Z} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \dfrac{\pi }{3}}}{{2\pi }} \le m \le \dfrac{{70 - \dfrac{\pi }{3}}}{{2\pi }}\,\,\left( {m \in Z} \right) \Leftrightarrow m \in \left\{ {0;1;2;...;10} \right\}\\ - \dfrac{\pi }{3} + n2\pi \in \left[ {1;70} \right] \Leftrightarrow 1 \le - \dfrac{\pi }{3} + n2\pi \le 70\,\,\left( {n \in Z} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{1 + \dfrac{\pi }{3}}}{{2\pi }} \le n \le \dfrac{{70 + \dfrac{\pi }{3}}}{{2\pi }}\,\,\left( {n \in Z} \right) \Leftrightarrow n \in \left\{ {1;2;...;11} \right\}\end{array}\)

Vậy tổng các nghiệm thuộc \(\left[ {1;70} \right]\) của phương trình trên là :

\(\begin{array}{l}S = \left( {\pi + \pi + 2\pi + \pi + 4\pi + ... + \pi + 20\pi } \right) + \left( {\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{\pi }{3} + 2\pi + \dfrac{\pi }{3} + 4\pi + ... + \dfrac{\pi }{3} + 20\pi } \right)\\\,\,\,\,\,\, + \left( { - \dfrac{\pi }{3} + 2\pi - \dfrac{\pi }{3} + 4\pi + .... - \dfrac{\pi }{3} + 22\pi } \right)\\S = 11\pi + \pi \left( {2 + 4 + ... + 20} \right) + \dfrac{{11\pi }}{3} + \left( {2 + 4 + ... + 20} \right)\pi - \dfrac{{11}}{3}\pi + \left( {2 + 4 + ... + 22} \right)\pi \\S = 11\pi + 110\pi + \dfrac{{11}}{3}\pi + 110\pi - \dfrac{{11}}{3}\pi + 132\pi \\S = 363\pi \end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.