Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\cos 2x - {\tan ^2}x = \dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\cos

Câu hỏi số 297999:

Vận dụng

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\cos 2x - {\tan ^2}x = \dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\cos }^3}x - 1}}{{{{\cos }^2}x}}\) trên đoạn \(\left[ {1;70} \right]\).

A. \(188\pi \)

B. \(263\pi \)

C. \(363\pi \)

D. \(365\pi \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:297999

Phương pháp giải

Quy đồng, sử dụng công thức nhân đôi, đưa phương trình về dạng tích và giải phương trình lượng giác cơ bản, sai đó tìm nghiệm thuộc \(\left[ {1;70} \right]\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\cos 2x - {\tan ^2}x = \dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\cos }^3}x - 1}}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right){{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\cos }^3}x - 1}}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right){\cos ^2}x - {\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\cos ^3}x - 1\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}x\left( {2{{\cos }^2}x - 1 + \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 + \cos x = 0\,\,\left( {Do\,\,\cos x \ne 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\cos x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + m2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{3} + n2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k,m,n \in Z} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\pi + k2\pi \in \left[ {1;70} \right] \Leftrightarrow 1 \le \pi + k2\pi \le 70\,\,\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \pi }}{{2\pi }} \le k \le \dfrac{{70 - \pi }}{{2\pi }}\,\,\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1;2;...;10} \right\}\\\dfrac{\pi }{3} + m2\pi \in \left[ {1;70} \right] \Leftrightarrow 1 \le \dfrac{\pi }{3} + m2\pi \le 70\,\,\left( {m \in Z} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \dfrac{\pi }{3}}}{{2\pi }} \le m \le \dfrac{{70 - \dfrac{\pi }{3}}}{{2\pi }}\,\,\left( {m \in Z} \right) \Leftrightarrow m \in \left\{ {0;1;2;...;10} \right\}\\ - \dfrac{\pi }{3} + n2\pi \in \left[ {1;70} \right] \Leftrightarrow 1 \le - \dfrac{\pi }{3} + n2\pi \le 70\,\,\left( {n \in Z} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{1 + \dfrac{\pi }{3}}}{{2\pi }} \le n \le \dfrac{{70 + \dfrac{\pi }{3}}}{{2\pi }}\,\,\left( {n \in Z} \right) \Leftrightarrow n \in \left\{ {1;2;...;11} \right\}\end{array}\)

Vậy tổng các nghiệm thuộc \(\left[ {1;70} \right]\) của phương trình trên là :

\(\begin{array}{l}S = \left( {\pi + \pi + 2\pi + \pi + 4\pi + ... + \pi + 20\pi } \right) + \left( {\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{\pi }{3} + 2\pi + \dfrac{\pi }{3} + 4\pi + ... + \dfrac{\pi }{3} + 20\pi } \right)\\\,\,\,\,\,\, + \left( { - \dfrac{\pi }{3} + 2\pi - \dfrac{\pi }{3} + 4\pi + .... - \dfrac{\pi }{3} + 22\pi } \right)\\S = 11\pi + \pi \left( {2 + 4 + ... + 20} \right) + \dfrac{{11\pi }}{3} + \left( {2 + 4 + ... + 20} \right)\pi - \dfrac{{11}}{3}\pi + \left( {2 + 4 + ... + 22} \right)\pi \\S = 11\pi + 110\pi + \dfrac{{11}}{3}\pi + 110\pi - \dfrac{{11}}{3}\pi + 132\pi \\S = 363\pi \end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.