Biết rằng phương trình: \(\log _3^2x - (m + 2){\log _3}x + 3m - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}{x_2} = 27\). Khi đó tổng \(\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\) bằng:

Câu 301516: Biết rằng phương trình: \(\log _3^2x - (m + 2){\log _3}x + 3m - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}{x_2} = 27\). Khi đó tổng \(\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\) bằng:

A. 6

B. \(\dfrac{{34}}{3}\).

C. 12

D. \(\dfrac{1}{3}\).

Câu hỏi : 301516

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+) Đặt \({\log _3}x = t \Rightarrow x = {3^t}\;\;\left( {x > 0} \right)\)

+) Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét để làm bài toán.

+) Tìm \(m\) sau đó thế \(m\) vào phương trình để tìm \({x_1},\;{x_2}.\)

Đáp án : C
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Điều kiện: \(x > 0\)

Đặt \({\log _3}x = t \Rightarrow x = {3^t}\;\)

Khi đó ta có phương trình: \({t^2} - \left( {m + 2} \right)t + 3m - 1 = 0\;\;\left( * \right)\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm \(t\) phân biệt

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {3m - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - 12m + 4 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 8 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 4 + 2\sqrt 2 \\m < 4 - 2\sqrt 2 \end{array} \right..\end{array}\)

Với \(\left[ \begin{array}{l}m > 4 + 2\sqrt 2 \\m < 4 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\) có hai nghiệm phân biệt \({t_1},\;{t_2}\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2}\) với \({x_1} = {3^{{t_1}}},\;\;{x_2} = {3^{{t_2}}}.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét với phương trình \(\left( * \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = m + 2\\{t_1}{t_2} = 3m - 1\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có: \({x_1}{x_2} = 27 \Leftrightarrow {3^{{t_1}}}{.3^{{t_2}}} = {3^{{t_1} + {t_2}}} = 27 \Leftrightarrow {t_1} + {t_2} = 3\)

\( \Leftrightarrow m + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 1\;\;\left( {tm} \right)\)

Với \(m = 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_1} = 1\\{t_2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {3^1} = 3\\{x_2} = {3^2} = 9\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 3 + 9 = 12.\)

Chọn C.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.