Cho số tự nhiên\(n \ge 2\) và số nguyên tố p thoả mãn p – 1 chia hết cho n đồng thời \({n^3} -

Câu hỏi số 302084:

Vận dụng

Cho số tự nhiên\(n \ge 2\) và số nguyên tố p thoả mãn p – 1 chia hết cho n đồng thời \({n^3} - 1\)chia hết cho p. Chứng minh rằng n + p là 1 số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:302084

Phương pháp giải

Chứng minh \(n + p\) có dạng \({\left( {n + 1} \right)^2}\)

Sử dụng tính chất chia hết của một tổng: Nếu \(a \vdots m\) và \(b \vdots m\) thì \((a \pm b) \vdots m\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{n^3} - 1 = (n - 1)({n^2} + n + 1) \vdots p\\\left( {p - 1} \right)\; \vdots \;n \Rightarrow p - 1 \ge n \Rightarrow p \ge n + 1\end{array}\)

Vì \(p \ge n + 1 \Rightarrow \left( {n - 1} \right)\) không chia hết cho p.

Do đó: \(\left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} + n + 1} \right)\; \vdots \;p \Leftrightarrow \left( {{n^2} + n + 1} \right)\; \vdots \;p\)

Đặt: \(p - 1 = kn,\;\;k \ge 1 \Rightarrow p = kn + 1\;\;\left( * \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {{n^2} + n + 1} \right)\; \vdots \;\left( {kn + 1} \right)\;\; \Rightarrow kn + 1 \le {n^2} + n + 1\\ \Leftrightarrow kn \le {n^2} + n \Leftrightarrow k \le n + 1\\k({n^2} + n + 1) - n(kn + 1)\; \vdots \;\left( {kn + 1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {(k - 1)n + k} \right]\; \vdots \;\left( {kn + 1} \right)\\k \ge 1 \Rightarrow (k - 1)n + k > 0\\ \Rightarrow (k - 1)n + k \ge kn + 1\\ \Rightarrow k \ge n + 1\\ \Rightarrow k = n + 1 \Rightarrow p = kn + 1 = {n^2} + n + 1\\ \Rightarrow n + p = {n^2} + 2n + 1 = {(n + 1)^2}\end{array}\)

Vậy \(n + p\) là một số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link