Cho số tự nhiên\(n \ge 2\) và số nguyên tố p thoả mãn p – 1 chia hết cho n đồng thời \({n^3} -

Câu hỏi số 302084:

Vận dụng

Cho số tự nhiên\(n \ge 2\) và số nguyên tố p thoả mãn p – 1 chia hết cho n đồng thời \({n^3} - 1\)chia hết cho p. Chứng minh rằng n + p là 1 số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:302084

Phương pháp giải

Chứng minh \(n + p\) có dạng \({\left( {n + 1} \right)^2}\)

Sử dụng tính chất chia hết của một tổng: Nếu \(a \vdots m\) và \(b \vdots m\) thì \((a \pm b) \vdots m\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{n^3} - 1 = (n - 1)({n^2} + n + 1) \vdots p\\\left( {p - 1} \right)\; \vdots \;n \Rightarrow p - 1 \ge n \Rightarrow p \ge n + 1\end{array}\)

Vì \(p \ge n + 1 \Rightarrow \left( {n - 1} \right)\) không chia hết cho p.

Do đó: \(\left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} + n + 1} \right)\; \vdots \;p \Leftrightarrow \left( {{n^2} + n + 1} \right)\; \vdots \;p\)

Đặt: \(p - 1 = kn,\;\;k \ge 1 \Rightarrow p = kn + 1\;\;\left( * \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {{n^2} + n + 1} \right)\; \vdots \;\left( {kn + 1} \right)\;\; \Rightarrow kn + 1 \le {n^2} + n + 1\\ \Leftrightarrow kn \le {n^2} + n \Leftrightarrow k \le n + 1\\k({n^2} + n + 1) - n(kn + 1)\; \vdots \;\left( {kn + 1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {(k - 1)n + k} \right]\; \vdots \;\left( {kn + 1} \right)\\k \ge 1 \Rightarrow (k - 1)n + k > 0\\ \Rightarrow (k - 1)n + k \ge kn + 1\\ \Rightarrow k \ge n + 1\\ \Rightarrow k = n + 1 \Rightarrow p = kn + 1 = {n^2} + n + 1\\ \Rightarrow n + p = {n^2} + 2n + 1 = {(n + 1)^2}\end{array}\)

Vậy \(n + p\) là một số chính phương.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link