Cho 2 đường tròn (O, R) và (O’, r) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B (R > r’) sao cho O và

Câu hỏi số 302086:

Vận dụng

Cho 2 đường tròn (O, R) và (O’, r) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B (R > r’) sao cho O và O’ ở 2 phía của AB. Gọi K là điểm sao cho: OAO’K là hình bình hành.

a) CMR: ABK là tam giác vuông.

b) Đường tròn tâm K bán kính KA cắt (O, R) và (O’, r) theo thứ tự tại M và N (khác A). CMR : \(\angle ABM = \angle ABN\)

c) Trên đường tròn (O, R) lấy C thuộc cung AM không chứa B (C khác A, M). Đường thẳng CA vuông góc với (O’, r) tại D. CMR : KC = KD.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:302086

Phương pháp giải

a) Xét tam giác ABK, chỉ ra IA = IB = IK với I là giao điểm KA và OO’. (đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền)

b) Sử dụng tính chất của tiếp tuyến, tính chất đường trung trực và tổng 3 góc trong tam giác.

c) Sử dụng tính chất đường trung bình và mối quan hệ giữa đường kính và dây cung.

Giải chi tiết

a) CMR: ABK là tam giác vuông.

Gọi I là giao điểm KA và OO’. Khi đó I là trung điểm của KA. (tính chất hình bình hành)

Mặt khác OO’ là trung trực của AB nên IA = IB. (tính chất đường nối tâm và giao tuyến chung của hai đường tròn).

Từ đó ta có : IA = IB = IK nên tam giác ABK vuông tại B. (tam giác có đường trung tuyến từ đỉnh B đến cành AK bằng nửa cạnh AK thì tam giác đó là tam giác vuông B)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Đường tròn tâm K bán kính KA cắt (O, R) và (O’, r) theo thứ tự tại M và N( khác A). CMR : \(\angle ABM = \angle ABN\)

Ta có : KA = KM (cùng thuộc đường tròn (K ; KA)), OA = OM = R

Suy ra OK là trung trực của AM. (tính chất đường trung trực)

\( \Rightarrow KO \bot AM.\)

Vì \(KO//AO' \Rightarrow MA \bot AO'\) (từ song song đến vuông góc)

Do đó MA là tiếp tuyến của (O’). (định nghĩa)

Tương tự ta cũng có NA là tiếp tuyến của (O). (định nghĩa)

Suy ra : \(\angle MAB = \angle ANB;\;\;\angle NAB = \angle AMB\)

Khi đó xét 2 tam giác : AMB và ABN ta suy ra : \(\angle ABM = \angle ABN.\)

c) Trên đường tròn (O, R) lấy C thuộc cung AM không chứa B( C khác A, M). Đường thẳng CA vuông góc với (O’, r) tại D. CMR : KC = KD.

Gọi E, F, là trung điểm CA, AD và H là trung điểm EF.

Khi đó ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}OE \bot CD\\O'F \bot CD\end{array} \right.\) (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow OE//O'F\) (từ vuông góc đến song song)

\( \Rightarrow OEFO'\) là hình thang vuông tại \(E,\;F.\)

Lại có \(H\) là trung điểm của \(EF,\;I\) là trung điểm của \(OO'\) (cách dựng)

\( \Rightarrow HI//OE//O'F\) (đường trung bình của hình thang)

\( \Rightarrow HI \bot CD\) (từ song song đến vuông góc)

\( \Rightarrow HI\) là đường trung trực của của \(EF \Rightarrow IE = IF\) (tính chất đường trung trực)

Lại có: \(EI\) là đường trung bình của \(\Delta ACK\) (E là trung điểm của AC, I là trung điểm của AK)

\( \Rightarrow KC = 2EI.\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mà \(FI\) là đường trung bình của \(\Delta ADK\) (F là trung điểm của AD, I là trung điểm của AK)

\( \Rightarrow KD = 2FI.\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow KD = KC\left( { = 2EI} \right)\;\;\left( {dpcm} \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link