Với \(a,b,c > 0\) thỏa mãn \(c = 8ab\) thì biểu thức \(P = \dfrac{1}{{4a + 2b + 3}} + \dfrac{c}{{4bc + 3c

Câu hỏi số 303970:

Vận dụng cao

Với \(a,b,c > 0\) thỏa mãn \(c = 8ab\) thì biểu thức \(P = \dfrac{1}{{4a + 2b + 3}} + \dfrac{c}{{4bc + 3c + 2}} + \dfrac{c}{{2ac + 3c + 4}}\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{m}{n}\) (\(m,n\, \in Z\) và \(\dfrac{m}{n}\) là phân số tối giản). Tính \(2{m^2} + n\)?

A. 9

B. 4

C. 8

D. 3

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:303970

Phương pháp giải

Chia cả tử và mẫu của hai phân số thứ hai và thứ ba trong biểu thức \(P\) cho \(c.\)

Đặt \(2a = x;2b = y;\dfrac{2}{c} = z\) từ đó suy ra mối quan hệ của \(xyz\) và đưa \(P\) theo các biến \(x;y;z\)

Sử dụng thích hợp bất đẳng thức Cô-si cho từng mẫu số sau đó biến đổi để tìm GTLN của \(P.\)

Giải chi tiết

Ta có \(P = \dfrac{1}{{4a + 2b + 3}} + \dfrac{c}{{4bc + 3c + 2}} + \dfrac{c}{{2ac + 3c + 4}}\)\( = \dfrac{1}{{4a + 2b + 3}} + \dfrac{1}{{4b + 3 + \dfrac{2}{c}}} + \dfrac{1}{{2a + 3 + \dfrac{4}{c}}}\)

Đặt \(2a = x;\,\,2b = y;\,\,\dfrac{2}{c} = z \Rightarrow xyz = 2a.2b.\dfrac{2}{c} = \dfrac{{8ab}}{c} = 1\) (vì \(c = 8ab\))

Khi đó ta có \(P = \dfrac{1}{{2x + y + 3}} + \dfrac{1}{{2y + z + 3}} + \dfrac{1}{{2z + x + 3}}\)

Lại có \(2x + y + 3 = x + x + y + 1 + 2\mathop \ge \limits^{C\^o - si} 2\sqrt {xy} + 2\sqrt x + 2 = 2\left( {\sqrt {xy} + \sqrt x + 1} \right)\)

Tương tự với \(2y + z + 3 \le 2\left( {\sqrt {yz} + \sqrt y + 1} \right);\,2z + x + 3 \le 2\left( {\sqrt {xz} + \sqrt z + 1} \right)\) , do đó ta có

\(P \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {xy} + \sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {yz} + \sqrt y + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {xz} + \sqrt z + 1}}} \right)\)

\( = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {xy} + \sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt y + 1}} + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{\sqrt y }} + \dfrac{1}{{\sqrt {xy} }} + 1}}} \right)\) (do \(xyz = 1\))

\( = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {xy} + \sqrt x + 1}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt {xy} + \sqrt x + 1}} + \dfrac{{\sqrt {xy} }}{{\sqrt {xy} + \sqrt x + 1}}} \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt {xy} + \sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + \sqrt x + 1}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow P \le \dfrac{1}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z = 1\). Do đó \(\max P = \dfrac{1}{2} \Rightarrow m = 1;n = 2 \Rightarrow 2{m^2} + n = 4.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.