Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) nhỏ hơn \(2018\) để hàm số \(y = 2{x^3} +

Câu hỏi số 303975:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) nhỏ hơn \(2018\) để hàm số \(y = 2{x^3} + 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 6\left( {m - 2} \right)x + 3\) nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn \(3\).

A. \(2009\)

B. \(2010\)

C. \(2011\)

D. \(2012\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:303975

Phương pháp giải

- Tính \(y'\) và giải phương trình \(y' = 0\)

- Tìm khoảng nghịch biến của hàm số và thay vào điều kiện bà cho tìm \(m\).

Giải chi tiết

\(y = 2{x^3} + 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 6\left( {m - 2} \right)x + 3\) \( \Rightarrow y' = 6{x^2} + 6\left( {m - 1} \right)x + 6\left( {m - 2} \right) = 6\left[ {{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 2} \right]\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 = {x_1}\\x = 2 - m = {x_2}\end{array} \right.\)

Nếu \( - 1 = 2 - m \Leftrightarrow m = 3\) thì \(y' = 6{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0,\forall x \in R\) nên hàm số đồng biến trên R (không thỏa mãn).

Nếu \(m \ne 3\) thì phương trình \(y' = 0\) luôn có \(2\) nghiệm phân biệt nên hàm số nghịch biến có hai điểm cực trị và nó nghịch biến trong khoảng hai điểm đó.

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn \(3\) \( \Leftrightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| > 3 \Leftrightarrow \left| { - 1 - 2 + m} \right| > 3 \Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| > 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 3 > 3\\m - 3 < - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 6\\m < 0\end{array} \right.\)

Vậy \(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right)\)

Mà \(m\) nguyên dương và nhỏ hơn \(2018\) nên \(m \in \left\{ {7;8;...;2017} \right\}\) hay có \(2017 - 7 + 1 = 2011\) số \(m\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.