Hệ phương trình sau có các nghiệm là \(\left( {{x_1};\,{y_1}} \right),\,\,\left( {{x_2};{y_2}} \right)\)

Câu hỏi số 303979:

Vận dụng

Hệ phương trình sau có các nghiệm là \(\left( {{x_1};\,{y_1}} \right),\,\,\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) (với \({x_1};\,{y_1}\,;{x_2};\,{y_2}\) là các số vô tỉ). Tìm \(x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2\)?

\(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} - \left| {xy} \right| + 2 = 0\\8 - {x^2} = {\left( {x + 2y} \right)^2}\end{array} \right.\).

A. 20

B. 0

C. 10

D. 22

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:303979

Phương pháp giải

Phá dấu giá trị tuyệt đối giải hệ phương trình trong từng trường hợp.

Giải chi tiết

Ta có: \(8 - {x^2} = {\left( {x + 2y} \right)^2}{\kern 1pt} \Leftrightarrow 8 - {x^2} = {x^2} + 4xy + 4{y^2} \Leftrightarrow {x^2} + 2xy + 2{y^2} - 4 = 0\)

TH1: \(xy \ge 0\) thì hệ trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} - xy + 2 = 0\\{x^2} + 2xy + 2{y^2} - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{y^2} - 2xy + 4 = 0\\{x^2} + 2xy + 2{y^2} - 4 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4{y^2} = 0\\{y^2} - xy + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = 0\\{y^2} - xy + 2 = 0\end{array} \right.\left( {VN} \right)\)

TH2: \(xy < 0\) thì hệ trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + xy + 2 = 0\\{x^2} + 2xy + 2{y^2} - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{y^2} + 2xy + 4 = 0\\{x^2} + 2xy + 2{y^2} - 4 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 8 = 0\\{y^2} + xy + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 2\sqrt 2 \\{y^2} + xy + 2 = 0\end{array} \right.\)

Nếu \(x = 2\sqrt 2 \) thì \({y^2} + 2\sqrt 2 y + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {y + \sqrt 2 } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y = - \sqrt 2 \) (thỏa mãn \(xy < 0\))

Nếu \(x = - 2\sqrt 2 \) thì \({y^2} - 2\sqrt 2 y + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {y - \sqrt 2 } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y = \sqrt 2 \) (thỏa mãn \(xy < 0\))

Vậy hệ có các nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {2\sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right)\) và \(\left( { - 2\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\).

Do đó \(x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 = 8 + 8 + 2 + 2 = 20\).

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.