Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a,\) góc giữa mặt bên và đáy bằng \(60^\circ .\)

Câu hỏi số 304345:

Vận dụng

Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a,\) góc giữa mặt bên và đáy bằng \(60^\circ .\) Tính theo \(a\) thể tích khối chóp \(S.ABC.\)

A. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)

B. \(V = \dfrac{{{a^3}}}{8}\)

C. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

D. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:304345

Phương pháp giải

+ Sử dụng định nghĩa để tìm góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) :

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\a \bot d;\,a \subset \left( P \right)\\b \bot d;b \subset \left( Q \right)\end{array} \right.\) khi đó góc giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) chính là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b.\)

+ Diện tích tam giác đều cạnh \(a\) được tính theo công thức \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

+ Tính thể tích \(V = \dfrac{1}{3}S.h\) với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao hình chóp.

Giải chi tiết

Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC,\,O\) là trọng tâm tam giác \(ABC \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\) (do \(S.ABC\) là hình chóp đều)

Suy ra \(AE \bot BC\,\)(do \(\Delta ABC\) đều) và \(SE \bot BC\) (do \(\Delta SBC\) cân tại \(S\) )

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AE \bot BC;AE \subset \left( {ABC} \right)\,\\SE \bot BC\,;SE \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right.\) nên góc giữa \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là \(\widehat {SEA}\) .

Từ giả thiết suy ra \(\widehat {SEA} = 60^\circ .\)

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow AE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow OE = \dfrac{1}{3}AE = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Xét tam giác \(SOE\) vuông tại \(O\) (do \(SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot AE\) ) , ta có: \(SO = OE.\tan \widehat {SEO} = \dfrac{{AE}}{3}.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}.\sqrt 3 = \dfrac{a}{2}.\)

Diện tích tam giác đều \(ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\)

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SO = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.