Cho \(x,\;y\) là các số thực dương thỏa mãn \(\ln x + \ln y \ge \ln \left( {{x^2} + y} \right).\) Giá trị

Câu hỏi số 305041:

Vận dụng cao

Cho \(x,\;y\) là các số thực dương thỏa mãn \(\ln x + \ln y \ge \ln \left( {{x^2} + y} \right).\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2x + y\) là:

A. \(P = 4 + 2\sqrt 3 \)

B. \(P = 4 - 2\sqrt 3 \)

C. \(P = \frac{{9 - 5\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(P = \frac{{3 + 5\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:305041

Phương pháp giải

+) Sử dụng các công thức \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right);\,\,{\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\f\left( x \right) > g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\)

+) Chứng minh \(y \ge g\left( x \right) \Rightarrow P = 2x + y \ge 2x + g\left( x \right)\).

+) Sử dụng BĐT Cô-si đánh giá biểu thức \(P\).

Giải chi tiết

Ta có :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\ln x + \ln y \ge \ln \left( {{x^2} + y} \right) \Leftrightarrow \ln \left( {xy} \right) \ge \ln \left( {{x^2} + y} \right)\\ \Leftrightarrow xy \ge {x^2} + y\,\,\left( {x,y > 0} \right) \Leftrightarrow y\left( {x - 1} \right) \ge {x^2} > 0\end{array}\)

Do\(y > 0\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\), khi đó ta có \(y \ge \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = 2x + y \ge 2x + \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} = \frac{{3{x^2} - 2x}}{{x - 1}} = \frac{{3{x^2} - 3x + x - 1 + 1}}{{x - 1}} = 3x + 1 + \frac{1}{{x - 1}}\\\,\,\,\,\, = 3\left( {x - 1} \right) + \frac{1}{{x - 1}} + 4\mathop \ge \limits^{Co - si} 2\sqrt {3\left( {x - 1} \right).\frac{1}{{x - 1}}} + 4 = 2\sqrt 3 + 4\end{array}\)

Vậy \(\min P = 4 + 2\sqrt 3 \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.