Giải hệ phương trình:

Câu hỏi số 30548:

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 4x^{2}+4xy+y^{2}+2x+y-2=0 & \\ 8\sqrt{1-2x}+y^{2}-9=0 & \end{matrix}\right.$ $(x,y \in \mathbb{R})$

A. $\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=1 & \end{matrix}\right.$ ; $\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{4} & \\ y=-3 & \end{matrix}\right.$

B. $\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2} & \\ y=-3 & \end{matrix}\right.$

C. $\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=1 & \end{matrix}\right.$

D. $\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=1 & \end{matrix}\right.$ ; $\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2} & \\ y=-3 & \end{matrix}\right.$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:30548

Giải chi tiết

Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 4x^{2}+4xy+y^{2}+2x+y-2=0(1) & \\ 8\sqrt{1-2x}+y^{2}-9=0 (2)& \end{matrix}\right.$

Điều kiện: $1-2x\geq 0\Leftrightarrow x\leq \frac{1}{2}$ . Đặt t=2x+y, phương trình (1) trở thành:

$t^{2}+t-2=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t=1 & \\ t=-2 & \end{matrix}\right.$

Nếu t =1 thì 2x + y =1⇔1−2x = y ≥ 0. Thế vào phương trình (2) ta được phương trình : $8\sqrt{y}+y^{2}-9=0$

Đặt $u=\sqrt{y}\geq 0$ , phương trình trở thành:

u⁴ + 8u -9 =0 $\Leftrightarrow$ (u-1)(u³ + u² + u +9)=0 $\Leftrightarrow$ u=1. Khi đó hệ có nghiệm $\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=1 & \end{matrix}\right.$

Nếu t =-2 thì 2x + y =-2⇔1−2x = y +3 ≥ 0. Thế vào phương trình (2) ta được phương trình :

$8\sqrt{y+3}+y^{2}-9=0\Leftrightarrow 8\sqrt{y+3}+(y-3)(y+3)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=-3 & \\ 8+(y-3)\sqrt{y+3}=0 & \end{matrix}\right.$

Với y=-3 thì hệ có nghiệm: $\left\{\begin{matrix} x= \frac{1}{2} & \\ y=-3 & \end{matrix}\right.$

Xét hệ phương trình: $8+(y-3)\sqrt{y+3}=0$ (3)

Đặt $v=\sqrt{y+3}\geq 0$ , phương trình (3) trở thành: v³-6v+8=0

Xét hàm số: f(v)= v³-6v+8, ta có:

f'(v)=3v²-6 và f'(v)=0 $\Leftrightarrow v=\pm \sqrt{2}$

Hàm f(v) đạt cực đại tại $(-\sqrt{2}; 8+4\sqrt{2})$ , đạt cực tiểu tại $(-\sqrt{2}; 8-4\sqrt{2})$

Vì f(0)=8>0 và $8-4\sqrt{2}>0$ nên f(v) =0 không có nghiệm $v\geq 0$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: $\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=1 & \end{matrix}\right.$ ; $\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2} & \\ y=-3 & \end{matrix}\right.$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.