Cho \(a,b > 0\) thỏa mãn \(a + b \le 2.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \sqrt {a(b +

Câu hỏi số 305925:

Vận dụng cao

Cho \(a,b > 0\) thỏa mãn \(a + b \le 2.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\(P = \sqrt {a(b + 1)} + \sqrt {b(a + 1)} .\)

A. \(P = 2\sqrt 5 \)

B. \(P = 2\sqrt 2 \)

C. \(P = 2\)

D. \(P = \sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:305925

Phương pháp giải

Dùng bất đẳng thức Cô-si và sử dụng giả thiết đề bài cho.

Giải chi tiết

Ta có : \(P\sqrt 2 = \sqrt {2a\left( {b + 1} \right)} + \sqrt {2b\left( {a + 1} \right)} \)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta được :

\(\begin{array}{l}\sqrt {2a\left( {b + 1} \right)} \le \frac{{2a + b + 1}}{2}\\\sqrt {2b\left( {a + 1} \right)} \le \frac{{2b + a + 1}}{2}\\ \Rightarrow P\sqrt 2 \le \frac{{3\left( {a + b} \right) + 2}}{2} \le \frac{{3.2 + 2}}{2} = 4\\ \Rightarrow P \le 2\sqrt 2 .\end{array}\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi : \(\left\{ \begin{array}{l}2a = b + 1\\2b = a + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\;\;\left( {tm} \right)\\b = 1\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là \(P = 2\sqrt 2 \,\;\;khi\;\;\,a = b = 1.\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link