Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R và AH là đường cao của
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R và AH là đường cao của tam giác ABC. Gọi M, N thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC.
1) Chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh \(\angle ABC = \angle ANM.\)
3) Chứng minh OA vuông góc với MN.
4) Cho biết \(AH = R\sqrt 2 \). Chứng minh M, O, N thẳng hàng.
Quảng cáo
1) Chứng minh \(\angle AMH + \angle ANH = {180^0}\) suy ra tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.
2) Ta chứng minh hai góc tương ứng phụ với hai góc bằng nhau thì bằng nhau.
3) Chứng minh \(\angle OAC + \angle ANM = {90^0} \Rightarrow OA \bot MN.\)
1) Chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.
Ta có M, N là hình chiếu của H trên AB, AC \( \Rightarrow \angle AMH = \angle ANH = {90^0}\)
Xét tứ giác AMHN ta có: \(\angle AMH + \angle ANH = {180^0}.\)
Suy ra tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp (dhnb).
2) Chứng minh \(\angle ABC = \angle ANM.\)
Ta có tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp suy ra \(\angle MAH = \angle MNH\)
(hai góc nội tiếp tiếp cùng chắn cung MH).
Mặt khác: \(\angle BAH + \angle ABH = {90^0}\;\;(\Delta ABH\) vuông tại H).
\(\angle ANM + \angle MNH = {90^0}\;\;\left( {\angle ANH = {{90}^0}} \right)\)
Suy ra: \(\angle ABH = \angle ANM\;\;\left( { = {{90}^0} - \angle MNH} \right)\;\;\;(dpcm).\)
3) Chứng minh OA vuông góc với MN.
Kéo dài OA cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A’.
Ta có: \(\angle CA'A = \angle ABC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Góc \(\angle A'CA\) chắn nửa đường tròn nên \(\angle A'CA = {90^0}.\)
\( \Rightarrow \angle CA'A + \angle A'AC = {90^0}.\) (Tổng hai góc trong tam giác vuông)
Mà \(\angle ABC + \angle BAH = {90^0}\;\;(\Delta ABH\) vuông tại H).
\( \Rightarrow \angle BAH = \angle A'AC.\)
Lại có: \(\angle ABC = \angle ANM\;\;\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \angle A'AC + \angle ANM = {90^0} \Rightarrow OA \bot MN\;\;(dpcm).\)
4) Cho biết \(AH = R\sqrt 2 \). Chứng minh M, O, N thẳng hàng.
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta AHC\) vuông tại H và có đường cao HN ta có:
\(\begin{array}{l}A{H^2} = AN.AC = {\left( {R\sqrt 2 } \right)^2} = 2{R^2} = AO.AA'\\ \Rightarrow AN.AC = AO.AA'\\ \Rightarrow \frac{{AN}}{{AA'}} = \frac{{AO}}{{AC}}.\end{array}\)
Xét \(\Delta AON\) và \(\Delta AA'C\) ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{AN}}{{AA'}} = \frac{{AO}}{{AC}}\;\;\left( {cmt} \right)\\\angle A\;\;chung\\ \Rightarrow \Delta AON \sim \Delta ACA'\;\;\left( {c - g - c} \right).\\ \Rightarrow \angle AON = \angle ACA' = {90^0}\end{array}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\angle AOM = \angle A'BA = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle AOM + \angle AON = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow O,\;M,\;N\) thẳng hàng (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
