Tính giới hạn của dãy số \({u_n} = \frac{1}{{2\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} +

Câu hỏi số 306061:

Vận dụng

Tính giới hạn của dãy số \({u_n} = \frac{1}{{2\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{(n + 1)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }}\) :

A. \( + \infty \)

B. \( - \infty \)

C. \(0\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:306061

Phương pháp giải

\(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}*\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\frac{1}{{(k + 1)\sqrt k + k\sqrt {k + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} \left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)}} = \frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}\)

\( \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{{2\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{(n + 1)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt 1 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}\)

Suy ra \({u_n} = 1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }} \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right) = 1\) do \(\lim \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }} = 0\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.