Tính giới hạn của dãy số \({u_n} = \frac{1}{{2\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{(n + 1)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }}\) :
Câu 306061: Tính giới hạn của dãy số \({u_n} = \frac{1}{{2\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{(n + 1)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }}\) :
A. \( + \infty \)
B. \( - \infty \)
C. \(0\)
D. \(1\)
\(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}*\)
-
Đáp án : D(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(\frac{1}{{(k + 1)\sqrt k + k\sqrt {k + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} \left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)}} = \frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}\)
\( \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{{2\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{(n + 1)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt 1 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}\)
Suy ra \({u_n} = 1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }} \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right) = 1\) do \(\lim \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }} = 0\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
