Cho \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} = 2018\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( {2x}

Câu hỏi số 307091:

Vận dụng

Cho \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} = 2018\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( {2x} \right) + f\left( {4 - 2x} \right)} \right]dx} \) .

A. \(I = 1009\)

B. \(I = 0\)

C. \(I = 2018\)

D. \(I = 4036\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:307091

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đưa vào trong vi phân để tính \(\int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)dx} ;\,\int\limits_0^2 {f\left( {4 - 2x} \right)dx} \)

Sử dụng tính chất \(\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} } \)

Và tính chất tích phân không phụ thuộc vào biến : \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt = \int\limits_a^b {f\left( u \right)du} } \)

Giải chi tiết

Ta có \(\int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)d\left( {2x} \right)} \)

Đặt \(2x = t\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 2 \Rightarrow t = 4\end{array} \right.\) nên

\(\int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)d\left( {2x} \right)} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^4 {f\left( t \right)d\left( t \right)} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^4 {f\left( x \right)d\left( x \right) = \dfrac{1}{2}.2018 = 1009} \)

Lại có \(\int\limits_0^2 {f\left( {4 - 2x} \right)dx} = - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( {4 - 2x} \right)d\left( {4 - 2x} \right)} \)

Đặt \(4 - 2x = u\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 4\\x = 2 \Rightarrow u = 0\end{array} \right.\) nên

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\int\limits_0^2 {f\left( {4 - 2x} \right)dx} = - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( {4 - 2x} \right)d\left( {4 - 2x} \right)} = - \dfrac{1}{2}\int\limits_4^0 {f\left( u \right)du} \\ = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^4 {f\left( u \right)du} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx = \dfrac{1}{2}.2018 = 1009} \end{array}\)

Khi đó \(I = \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( {2x} \right) + f\left( {4 - 2x} \right)} \right]dx} = \int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( {4 - 2x} \right) = 1009 + 1009 = 2018} \)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.