Cho hình chóp O.ABC có OA = OB = OC = a, \(\angle {\rm{AOB}} = {60^0},\angle {\rm{BOC}} = {90^0},\angle {\rm{COA}} =

Câu hỏi số 307588:

Vận dụng cao

Cho hình chóp O.ABC có OA = OB = OC = a, \(\angle {\rm{AOB}} = {60^0},\angle {\rm{BOC}} = {90^0},\angle {\rm{COA}} = {120^0}.\) Gọi S là trung điểm của OB. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là

A. \(\frac{a}{4}\)

B. \(\frac{{a\sqrt 7 }}{4}\)

C. \(\frac{{a\sqrt 7 }}{2}\)

D. \(\frac{a}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:307588

Giải chi tiết

\(\Delta OAB\) đều \( \Rightarrow AB = OA = OB = a\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OBC\) ta có: \(BC = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(OAC\) ta có

\(AC = \sqrt {O{A^2} + O{C^2} - 2OA.OC.\cos {{120}^0}} = \sqrt {{a^2} + {a^2} - 2{a^2}.\frac{{ - 1}}{2}} = a\sqrt 3 \)

Xét tam giác \(ABC\) ta có: \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại B.

Gọi H là trung điểm của \(AC \Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Mà \(OA = OB = OC \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH\) là trục của tam giác \(ABC\).

Gọi M là trung điểm của SB, trong \(\left( {SBH} \right)\) kẻ đường thẳng vuông góc với SB cắt OH tại I.

Ta có \(I \in OH \Rightarrow IA = IB = IC\).

Lại có \(IS = IB \Rightarrow IA = IB = IC = IS \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\).

Ta có: \(OH = \sqrt {O{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{a}{2}\).

\(\begin{array}{l}BH = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow OB = \sqrt {O{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4}} = a \Rightarrow BM = \frac{1}{4}OB = \frac{a}{4};\,\,OM = \frac{{3a}}{4}\\\Delta OBH \sim \Delta OIM\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{BH}}{{IM}} = \frac{{OH}}{{OM}} \Rightarrow IM = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{3a}}{4}}}{{\frac{a}{2}}} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{4}\\ \Rightarrow IB = \sqrt {I{M^2} + B{M^2}} = \sqrt {\frac{{27{a^2}}}{{16}} + \frac{{{a^2}}}{{16}}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.