Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) . Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) có

Câu hỏi số 307937:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) . Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) có \(SA = SB = 2a\) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \(ABCD\) . Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(SD\) và mặt phẳng đáy \((ABCD)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(\tan \alpha = \sqrt 3 \)

B. \(\cot \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)

C. \(\tan \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(\cot \alpha = 2\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

Xác định góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là góc giữa \(d\) và \(d'\) là hình chiếu của nó trên \(\left( P \right).\)

Sử dụng định lý Py-ta-go tính các cạnh và công thức lượng giác: \(\tan \alpha = \frac{{canh\;doi}}{{canh\;ke}}.\)

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow SH \bot AB\).

Ta có: \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right),\;\;SH \bot AB\)\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

\( \Rightarrow \angle \left( {SD,\;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SD,\;HD} \right) = \angle SDH = \alpha .\)

Áp dụng định lý Pytago với các tam giác vuông \(SAH,\;\;ADH\) ta có:

\(\begin{array}{l}SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {4{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}.\\DH = \sqrt {A{H^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\\ \Rightarrow \tan \alpha = \frac{{SH}}{{DH}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}:\frac{{a\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 3 .\end{array}\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:307937

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.