Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để bất phương trình sau

Câu hỏi số 308332:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để bất phương trình sau nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\): \({\left( {6 + 2\sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 - m} \right){\left( {3 - \sqrt 7 } \right)^x} - \left( {m + 1} \right){2^x} \ge 0\)?

A. 10

B. 9

C. 12

D. 11

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:308332

Phương pháp giải

+) Chia cả 2 vế của bất phương trình cho \({2^x} > 0\).

+) Đặt \(t = {\left( {3 + \sqrt 7 } \right)^x}\,\,\left( {t > 0} \right)\).

+) Đưa bất phương trình về dạng \(m \le f\left( t \right)\,\,\forall t > 0 \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( t \right)\).

+) Lập BBT hàm số \(y = f\left( t \right)\) và kết luận.

Giải chi tiết

Chia cả 2 vế của bất phương trình cho \({2^x} > 0\) ta được: \({\left( {3 + \sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 - m} \right){\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 7 }}{2}} \right)^x} - \left( {m + 1} \right) \ge 0\)

Nhận xét: \({\left( {3 + \sqrt 7 } \right)^x}.{\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 7 }}{2}} \right)^x} = 1\), do đó khi ta đặt \(t = {\left( {3 + \sqrt 7 } \right)^x}\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow {\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 7 }}{2}} \right)^x} = \dfrac{1}{t}\).

Phương trình trở thành : \(t + \left( {2 - m} \right)\dfrac{1}{t} - \left( {m + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {t^2} - \left( {m + 1} \right)t + 2 - m \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {t^2} - t + 2 \ge m\left( {t + 1} \right) \Leftrightarrow m \le \dfrac{{{t^2} - t + 2}}{{t + 1}} = f\left( t \right)\,\,\forall t > 0 \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( t \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - t + 2}}{{t + 1}}\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có : \(f'\left( t \right) = \dfrac{{\left( {2t - 1} \right)\left( {t + 1} \right) - {t^2} + t - 2}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{t^2} + 2t - 3}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 3\end{array} \right.\)

BBT :

Từ BBT \( \Rightarrow m \le 1\).

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 10;1} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \) có 12 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.