Với \(n \in {N^*}\). Tính \({S_n} = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3}\)

Câu hỏi số 308393:

Vận dụng

A. \(\frac{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} - 2}}{4}\)

B. \(\frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\)

C. \(\frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\)

D. \(\frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{4n}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:308393

Phương pháp giải

Dự đoán công thức tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Giải chi tiết

Ta thấy: \({S_1} = 1 = \frac{{{1^2}{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}}{4}\,;\,\,\,\,{S_2} = 9 = \frac{{{2^2}{{\left( {2 + 1} \right)}^2}}}{4};\,\,\,{S_3} = 36 = \frac{{{3^2}{{\left( {3 + 1} \right)}^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow \) Dự đoán: \({S_n} = \frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\,\,\,\left( 1 \right)\)

*) Chứng minh (1) bằng quy nạp:

+ Bước 1: Với \(n = 1 \Rightarrow {S_1} = \frac{{{1^2}{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}}{4} = 1\) (luôn đúng)

+ Bước 2: Giả sử (1) đúng với 1 số tự nhiên bất kỳ \(n = k\,\,\left( {k \ge 1} \right)\) ta có:

\({S_k} = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {k^3} = \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4}\) (giả thiết quy nạp)

+ Bước 3: Ta phải chứng minh công thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh:

\({S_{k + 1}} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \({S_{k + 1}} = {S_k} + {\left( {k + 1} \right)^3} = \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4} + {\left( {k + 1} \right)^3}\)

\( = \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2} + 4{{\left( {k + 1} \right)}^3}}}{4} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)}}{4} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) luôn đúng \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) được chứng minh.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.