Cho parabol (P): \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(d:\) \(y = (m + 1)x - {m^2} - \frac{1}{2}\). Với

Câu hỏi số 308422:

Vận dụng

Cho parabol (P): \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(d:\) \(y = (m + 1)x - {m^2} - \frac{1}{2}\). Với giá trị nào của \(m\) thì \(d\) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt \(A({x_1};{y_1});\;\;B({x_2};{y_2})\) sao cho biểu thức: \(T = {y_1} + {y_2} - {x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(m = 0\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:308422

Phương pháp giải

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị hàm số đã cho.

+) Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

+) Áp dụng hệ thức Vi-et và biến đổi để làm bài toán.

Giải chi tiết

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

\(\frac{1}{2}{x^2} = (m + 1)x - {m^2} - \frac{1}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 2(m + 1)x + 2{m^2} + 1 = 0\;\;\left( * \right)\)

Đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm \( \Leftrightarrow \) phương trình (*) có 2 nghiệm

\( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {(m + 1)^2} - 2{m^2} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow 2m - {m^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2.\)

Với \(0 \le m \le 2\) thì \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm \(A\left( {{x_1};\;{y_1}} \right),\;\;B\left( {{x_2};\;{y_2}} \right).\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 2{m^2} + 1\end{array} \right..\)

Ta có: \(A\left( {{x_1};\;\;\frac{1}{2}x_1^2} \right),\;\;B\left( {{x_2};\;\frac{1}{2}x_2^2} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow T = {y_1} + {y_2} - {x_1}{x_2} = \frac{1}{2}\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - {x_1}{x_2}\\\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] - {x_1}{x_2}\\\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{2}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\\\;\;\;\;\;\;\; = 2{\left( {m + 1} \right)^2} - 4{m^2} - 2\\\;\;\;\;\;\;\; = - 2{m^2} + 4m = - 2\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 2\\\;\;\;\;\;\;\; = - 2{\left( {m - 1} \right)^2} + 2.\end{array}\)

Vì \({\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\;\;\forall m \in \left[ {0;\;2} \right].\)

Đặt \(t = m - 1 \Rightarrow m \in \left[ {0;\;2} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;\;1} \right] \Rightarrow {t^2} \in \left[ {0;\;1} \right].\)

\( \Rightarrow T = 2 - 2{\left( {m - 1} \right)^2} = 2 - 2{t^2} \ge 0\;\;\forall t \in \left[ {0;\;1} \right].\)

Vậy \(Min\;T = 0 \Leftrightarrow {t^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right..\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link