a) Cho \(x,\,y\) là 2 số thực dương. CMR: \(\frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{x} \ge x + y\) b) Xét các

Câu hỏi số 308430:

Vận dụng cao

a) Cho \(x,\,y\) là 2 số thực dương. CMR: \(\frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{x} \ge x + y\)

b) Xét các số thực \(a,\;b,\;c\) với \(b \ne a + c\) sao cho phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm thực \(m,\;n\) thỏa mãn: \(0 \le m,n \le 1\). Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: \(M = \frac{{(a - b)(2a - c)}}{{a(a - b + c)}}\)

A. \(b)\,\,\max M = 2\,\,;\,\,\,\min M = \frac{3}{4}\)

B. \(b)\,\,\max M = 3\,\,;\,\,\,\min M = \frac{1}{4}\)

C. \(b)\,\,\max M = 4\,\,;\,\,\,\min M = \frac{5}{4}\)

D. \(b)\,\,\max M = 1\,\,;\,\,\,\min M = \frac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:308430

Giải chi tiết

a) Cho \(x,\,y\) là 2 số thực dương. CMR: \(\frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{x} \ge x + y\)

Với \(x,\;y > 0\) ta có: \(\frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{x} \ge x + y \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} \ge xy(x + y) \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) \ge xy\left( {x + y} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - xy + {y^2} \ge xy \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\;\;\forall x,\;y\)

Vậy BĐT được chứng minh, dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x,\;y > 0\end{array} \right..\)

b) Theo đề bài ta có phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \(m,\;n\;\;\left( {0 \le m,\;n \le 1} \right) \Rightarrow a \ne 0.\)

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}m + n = - \frac{b}{a}\\mn = \frac{c}{a}\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow M = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {2a - c} \right)}}{{a\left( {a - b + c} \right)}} = \frac{{\left( {1 - \frac{b}{a}} \right)\left( {2 - \frac{c}{a}} \right)}}{{1 - \frac{b}{a} + \frac{c}{a}}} = \frac{{\left( {1 + m + n} \right)\left( {2 - mn} \right)}}{{1 + m + n + mn}}.\)

Vì: \(2 - mn \le 2;\;\;mn \ge 0 \Rightarrow M \le \frac{{(1 + m + n).2}}{{1 + m + n}} = 2\).

Vậy \(Max\;M = 2 \Leftrightarrow mn = 0 \Leftrightarrow c = 0.\)

Ta lại có: \(0 \le m,\;n \le 1 \Rightarrow m\left( {n - 1} \right) + n\left( {m - 1} \right) + mn - 1 \le 0 \Leftrightarrow mn \le \frac{1}{3}\left( {m + n + 1} \right).\)

\( \Rightarrow M \ge \frac{{m + n + 1}}{{1 + m + n + \frac{1}{3}\left( {1 + m + n} \right)}} = \frac{3}{4}.\)

Vậy \(Min\;M = \frac{3}{4} \Leftrightarrow m = n = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\a = c\end{array} \right..\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link