a) Cho \(x,\,y\) là 2 số thực dương. CMR: \(\frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{x} \ge x + y\) b) Xét các

Câu hỏi số 308430:

Vận dụng cao

a) Cho \(x,\,y\) là 2 số thực dương. CMR: \(\frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{x} \ge x + y\)

b) Xét các số thực \(a,\;b,\;c\) với \(b \ne a + c\) sao cho phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm thực \(m,\;n\) thỏa mãn: \(0 \le m,n \le 1\). Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: \(M = \frac{{(a - b)(2a - c)}}{{a(a - b + c)}}\)

A. \(b)\,\,\max M = 2\,\,;\,\,\,\min M = \frac{3}{4}\)

B. \(b)\,\,\max M = 3\,\,;\,\,\,\min M = \frac{1}{4}\)

C. \(b)\,\,\max M = 4\,\,;\,\,\,\min M = \frac{5}{4}\)

D. \(b)\,\,\max M = 1\,\,;\,\,\,\min M = \frac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:308430

Giải chi tiết

a) Cho \(x,\,y\) là 2 số thực dương. CMR: \(\frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{x} \ge x + y\)

Với \(x,\;y > 0\) ta có: \(\frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{x} \ge x + y \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} \ge xy(x + y) \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) \ge xy\left( {x + y} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - xy + {y^2} \ge xy \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\;\;\forall x,\;y\)

Vậy BĐT được chứng minh, dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x,\;y > 0\end{array} \right..\)

b) Theo đề bài ta có phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \(m,\;n\;\;\left( {0 \le m,\;n \le 1} \right) \Rightarrow a \ne 0.\)

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}m + n = - \frac{b}{a}\\mn = \frac{c}{a}\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow M = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {2a - c} \right)}}{{a\left( {a - b + c} \right)}} = \frac{{\left( {1 - \frac{b}{a}} \right)\left( {2 - \frac{c}{a}} \right)}}{{1 - \frac{b}{a} + \frac{c}{a}}} = \frac{{\left( {1 + m + n} \right)\left( {2 - mn} \right)}}{{1 + m + n + mn}}.\)

Vì: \(2 - mn \le 2;\;\;mn \ge 0 \Rightarrow M \le \frac{{(1 + m + n).2}}{{1 + m + n}} = 2\).

Vậy \(Max\;M = 2 \Leftrightarrow mn = 0 \Leftrightarrow c = 0.\)

Ta lại có: \(0 \le m,\;n \le 1 \Rightarrow m\left( {n - 1} \right) + n\left( {m - 1} \right) + mn - 1 \le 0 \Leftrightarrow mn \le \frac{1}{3}\left( {m + n + 1} \right).\)

\( \Rightarrow M \ge \frac{{m + n + 1}}{{1 + m + n + \frac{1}{3}\left( {1 + m + n} \right)}} = \frac{3}{4}.\)

Vậy \(Min\;M = \frac{3}{4} \Leftrightarrow m = n = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\a = c\end{array} \right..\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link