Cho \(A\) là một điểm thuộc đường tròn \(\left( {O,\,\,R} \right).\) Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) của

Câu hỏi số 308747:

Vận dụng cao

Cho \(A\) là một điểm thuộc đường tròn \(\left( {O,\,\,R} \right).\) Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) của đường tròn \((O).\) Lấy điểm \(B\) thuộc tia \(Ax\) sao cho \(AB < 2R.\) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB.\) Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(M\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(H\) và \(K\) ( \(H\) năm giữa \(M\) và \(K\) )

a) Chứng minh \(\angle MKA = \angle MAH\) từ đó chứng minh \(\Delta MKA\) và \(\Delta MAH\) đồng dạng.

b) Kẻ \(HI \bot AK\) tại \(I.\) Chứng minh tứ giác \(AMHI\) nội tiếp một đường tròn.

c) Kéo dài \(AH\) cắt \(BK\) tại \(D.\) Chứng minh \(AD \bot KB\)

d) Lấy \(C\) đối xứng với \(B\) qua \(AK.\) Chứng minh điểm \(C\) thuộc đường tròn \(\left( {O,\,\,R} \right).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:308747

Phương pháp giải

1) Chứng minh \(\angle MAH = \angle MKA\); \(\angle AMH = \angle AMK = {90^0}\) suy ra \( \Rightarrow \Delta MKA \sim \Delta MAH\,\,\,\,\left( {g - g} \right)\)

2) Ta chứng minh \(\angle CMD + \angle CND = {90^0} \Rightarrow \angle MDN = {90^0} \Rightarrow MD \bot DN.\)

3) Chứng minh \(\angle BCN = \angle ACD,\angle CAD = \angle CBN\) suy ra các tam giác \(ADC\) và \(BNC\) đồng dạng \(\left( {g - g} \right).\)

4) Chứng minh hai góc đồng vị bằng nhau \(\angle CPQ = \angle CAD \Rightarrow PQ//AB.\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(\angle MKA = \angle MAH\) từ đó chứng minh \(\Delta MKA\) và \(\Delta MAH\) đồng dạng.

Xét \(\left( {O;\;R} \right)\) ta có:

\(\angle MKA\) là góc nội tiếp chắn cung \(AH.\)

\(\angle MAH\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(AH.\)

\( \Rightarrow \angle MAH = \angle MKA\) (tính chất).

Xét \(\Delta MKA\) và \(\Delta MAH\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle AMK = {90^0}\;\;chung\\\angle MAH = \angle AKA\;\;\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta MAH \sim \Delta MKA\;\;\left( {g - g} \right)\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

b) Kẻ \(HI \bot AK\) tại I. Chứng minh tứ giác AMHI nội tiếp một đường tròn.

Ta có \(\angle AMH = {90^0}\begin{array}{*{20}{c}}{(do}&{MA \bot MK)}\end{array}\)

\(\angle HIA = {90^0}\begin{array}{*{20}{c}}{(do}&{HI \bot AK)}\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle AMH + \angle AIH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow AMHI\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

c) Kéo dài AH cắt BK tại D. Chứng minh \(AD \bot KB\)

Xét \(\Delta KMB\) và \(\Delta KMA\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle KMA = \angle KMB = {90^0}\\KM\;\;chung\\MA = MB\;\;\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta KMA = \Delta KMB\;\;\left( {ch - cgv} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle MKA = \angle MKB\) (hai góc tương ứng)

Lại có: \(\angle MKA = \angle MAH\;\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle MAH = \angle MKB = \angle MKD.\)

\( \Rightarrow MAKD\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

\( \Rightarrow \angle AMK = \angle ADK = {90^0}\) (hai góc cùng nhìn đoạn \(AK)\)

\( \Rightarrow AD \bot BK.\;\;\left( {dpcm} \right)\)

d) Lấy C đối xứng với B qua AK. Chứng minh điểm C thuộc đường tròn (O; R).

Xét \(\Delta ABK\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}KM \bot AB\\AD \bot BK\\KM \cap AD = \left\{ H \right\}\end{array} \right. \Rightarrow H\) là trực tâm của \(\Delta ABK.\)

\( \Rightarrow BI\) là đường cao còn lại của \(\Delta ABK\) hay \(B,\;H,\;I\) thẳng hàng.

Ta có \(BMHD\) là tứ giác nội tiếp \(\left( {do\;\;\angle BMH + \angle BDH = {{180}^0}} \right).\)

\( \Rightarrow \angle ABK + \angle MHD = {180^0}\) (tính chất)

Mà \(\angle ABK + \angle AHK = {180^0}\) (do \(C\) đối xứng với \(B\) qua \(AK)\)

Lại có: \(\angle MHD = \angle AHK\) (hai góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \angle ACK + \angle AHK = {180^0} \Rightarrow AHCK\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Mặt khác \(A,\;H,\;K \in \left( {O;\;R} \right)\) \( \Rightarrow C \in \left( {O;\;R} \right)\;\;\left( {dpcm} \right).\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link