Biết \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}} = a\sqrt 5 + b\sqrt 2 + c} \) với

Câu hỏi số 309490:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}} = a\sqrt 5 + b\sqrt 2 + c} \) với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ. Tính \(P = a + b + c.\)

A. \(P = - \dfrac{5}{2}\)

B. \(P = \dfrac{7}{2}\)

C. \(P = \dfrac{5}{2}\)

D. \(P = 2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:309490

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đổi biến số \(\sqrt {{x^2} + 1} = t\) để tìm tích phân.

Giải chi tiết

Đặt \(\sqrt {{x^2} + 1} = t \Rightarrow {x^2} + 1 = {t^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}xdx = tdt\\{x^2} = {t^2} - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}dx = \dfrac{t}{x}dt\\{x^2} = {t^2} - 1\end{array} \right.\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 \\t = 2 \Rightarrow t = \sqrt 5 \end{array} \right.\)

Do đó \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}} = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\dfrac{{{x^3}}}{{t - 1}}\dfrac{t}{x}dt = } } \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\dfrac{{{x^2}.t}}{{t - 1}}dt = } \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\dfrac{{\left( {{t^2} - 1} \right).t}}{{t - 1}}dt = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\dfrac{{\left( {t + 1} \right)\left( {t - 1} \right).t}}{{t - 1}}dt} } \)

\(\begin{array}{l} = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\left( {{t^2} + t} \right)dt = } \left. {\dfrac{{{t^3}}}{3} + \dfrac{{{t^2}}}{2}} \right|_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } = \dfrac{5}{3}\sqrt 5 + \dfrac{5}{2} - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3} - 1 = \dfrac{5}{3}\sqrt 3 - \dfrac{2}{3}\sqrt 2 + \dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow a = \dfrac{5}{3};b = - \dfrac{2}{3};c = \dfrac{3}{2} \Rightarrow P = a + b + c = \dfrac{5}{2}.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.