Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty }

Câu hỏi số 309546:

Vận dụng

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1\), \(f\left( x \right) = f'\left( x \right)\sqrt {3x + 1} \), với mọi \(x > 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(1 < f\left( 5 \right) < 2\)

B. \(4 < f\left( 5 \right) < 5\)

C. \(2 < f\left( 5 \right) < 3\)

D. \(3 < f\left( 5 \right) < 4\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:309546

Phương pháp giải

- Từ điều kiện \(f\left( x \right) = f'\left( x \right)\sqrt {3x + 1} \) rút ra \(\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}\) và lấy nguyên hàm hai vế, kết hợp với \(f\left( 1 \right) = 1\) tìm \(f\left( x \right)\).

- Tính \(f\left( 5 \right)\) và kết luận.

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) = f'\left( x \right)\sqrt {3x + 1} \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\(\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx} = \int {\dfrac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}dx} \Rightarrow \int {\dfrac{{d\left( {f\left( x \right)} \right)}}{{f\left( x \right)}}} = \int {{{\left( {3x + 1} \right)}^{ - \dfrac{1}{2}}}dx} \)

\( \Rightarrow \ln f\left( x \right) = \dfrac{2}{3}\sqrt {3x + 1} + C\,\,\left( {Do\,\,f\left( x \right) > 0\,\,\forall x > 0} \right) \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\dfrac{2}{3}\sqrt {3x + 1} + C}}\)

Do \(f\left( 1 \right) = 1\) nên \({e^{\dfrac{2}{3}\sqrt {3.1 + 1} + C}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{4}{3} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \dfrac{4}{3}\) hay \(f\left( x \right) = {e^{\dfrac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \dfrac{4}{3}}}\)

Do đó \(f\left( 5 \right) = {e^{\dfrac{2}{3}\sqrt {3.5 + 1} - \dfrac{4}{3}}} = {e^{\dfrac{4}{3}}} \approx 3,79\).

Vậy \(3 < f\left( 5 \right) < 4\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.