Cho \(x;y\) là các số thực thỏa mãn \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge

Câu hỏi số 309562:

Vận dụng cao

Cho \(x;y\) là các số thực thỏa mãn \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2x - y.\)

A. \({P_{\min }} = 4\)

B. \({P_{\min }} = - 4\)

C. \({P_{\min }} = 2\sqrt 3 \)

D. \({P_{\min }} = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:309562

Phương pháp giải

Biến đổi giả thiết để tìm mối liên hệ của \(x\) theo \(y\). Thay vào biểu thức \(P\) rồi sử dụng phương pháp hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất của \(P.\)

Giải chi tiết

Ta có \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1\)

ĐK: \(x > y;x > - y \Rightarrow x > \left| y \right|.\)

Suy ra \({\log _4}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} \ge 4 \Leftrightarrow {x^2} \ge {y^2} + 4 \Rightarrow x \ge \sqrt {{y^2} + 4} \) (vì \(x > 0\))

Lại có \(P = 2x - y \ge 2\sqrt {{y^2} + 4} - y \ge 2\sqrt {{y^2} + 4} - \left| y \right|\)

Đặt \(t = \left| y \right| \ge 0\)

Xét \(f\left( t \right) = 2\sqrt {{t^2} + 4} - t\) có \(f'\left( t \right) = 2\dfrac{t}{{\sqrt {{t^2} + 4} }} - 1 = 0 \Rightarrow 2t = \sqrt {{t^2} + 4} \Rightarrow 3{t^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

BBT của \(f\left( t \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Từ BBT suy ra \(\min f\left( t \right) = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow t = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)

Suy ra \(P \ge 2\sqrt 3 \) hay GTNN của \(P\) là \(2\sqrt 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }};y = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\\x = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }};y = - \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.