Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), kẻ đường kính AN. Lấy điểm M trên

Câu hỏi số 309609:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), kẻ đường kính AN. Lấy điểm M trên cung nhỏ BN (M khác B và N). Kẻ MD vuông góc với đường thẳng BC tại D, ME vuông góc với đường thẳng AC tại E, MF vuông góc với đường thẳng AB tại F.

a) Chứng minh rằng 3 điểm F, D, E thẳng hàng.

b) Chứng minh: \(\frac{{AB}}{{MF}} + \frac{{AC}}{{ME}} = \frac{{BC}}{{MD}}.\)

c) Chứng minh rằng: \(\frac{{FB}}{{FA}} + \frac{{EA}}{{EC}} + \frac{{DC}}{{DB}} \ge 3.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:309609

Giải chi tiết

a) Xét tứ giác \(MFBD\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle MDB = {90^{0\;\;}}\left( {MD \bot BC} \right)\\\angle BFM = {90^0}\;\;\left( {MF \bot AB} \right)\\ \Rightarrow \angle MDB + \angle BFM = {180^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow MDBF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Chứng minh tương tự ta có \(MDEC,\;\;MBAC\) cũng là các tứ giác nội tiếp (dhnb).

\( \Rightarrow \angle BDF = \angle BMF = {90^0} - \angle FBM\) (hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh \(BF\))

\(\angle EDC = \angle EMC = {90^0} - \angle ECM\) (hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh \(EC\))

\(\angle FBM = \angle ECM\)

\( \Rightarrow \angle BDF = \angle EDC\)

Mà \(B,\;D,\;C\) thẳng hàng

\( \Rightarrow \angle BDF,\;\;\angle EDC\) là hai góc đối đỉnh.

\( \Rightarrow E,\;D,\;F\) thẳng hàng. (đpcm)

b) Gọi P thuộc BC sao cho: \(\angle BPM = \angle ACM\)

Xét \(\Delta BPM\) và \(\Delta ACM\) ta có:

\(\angle BPM = \angle ACM\) (cách dựng)

\(\angle PBM = \angle CAM\) (hai góc nội tiếp chắn cung \(AM\))

\( \Rightarrow \Delta BPM \sim \Delta ACM\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{BP}}{{AC}} = \frac{{BM}}{{AM}}\)(các cạnh tương ứng tỉ lệ).

\(\Delta AME \sim \Delta BMD\;\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{BM}}{{AM}} = \frac{{DM}}{{ME}}\) (các cạnh tương ứng tỉ lệ).

\( \Rightarrow \frac{{BP}}{{AC}} = \frac{{DM}}{{ME}}\left( { = \frac{{BM}}{{AM}}} \right) \Rightarrow \frac{{AC}}{{ME}} = \frac{{BP}}{{DM}}\;\;\left( 1 \right)\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta CPM \sim \Delta ABM\\\Delta AMF \sim \Delta CMD\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{AB}}{{MF}} = \frac{{CP}}{{MD}}.\;\;\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{AB}}{{MF}} + \frac{{AC}}{{ME}} = \frac{{BP}}{{MD}} + \frac{{CP}}{{MD}} = \frac{{BC}}{{MD}}\;\;\left( {dpcm} \right).\)

c) Từ ý a) áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với cắt tuyến là D, E, F ta thu được hệ thức sau: \(\frac{{FD}}{{FA}}.\frac{{EA}}{{EC}}.\frac{{DC}}{{DB}} = 1.\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cô Si ta có:

\(\frac{{FB}}{{FA}} + \frac{{EA}}{{EC}} + \frac{{DE}}{{DB}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{FB}}{{FA}}.\frac{{EA}}{{EC}}.\frac{{DC}}{{DB}}}} = 3.\)

Vậy \(\frac{{FB}}{{MF}} + \frac{{EA}}{{EC}} + \frac{{DC}}{{DB}} \ge 3.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link