Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), \(SB = a\sqrt 5 \).

a) Chứng minh tam giác \(SBC\) vuông.

b) Tính góc giữa mặt bên \(\left( {SCD} \right)\) và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\).

c) Tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).

Câu 310022: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), \(SB = a\sqrt 5 \).

a) Chứng minh tam giác \(SBC\) vuông.

b) Tính góc giữa mặt bên \(\left( {SCD} \right)\) và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\).

c) Tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).

A. \(\begin{array}{l}
b)\,\,{45^0}\\
c)\,\,\dfrac{a\sqrt 3}{2}
\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}
b)\,\,{45^0}\\
c)\,\,a\sqrt 3
\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}
b)\,\,{60^0}\\
c)\,\,a\sqrt 2
\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}
b)\,\,{45^0}\\
c)\,\,a\sqrt 2
\end{array}\)

Câu hỏi : 310022

Phương pháp giải:

a) Sử dụng định lí \(d \bot \left( P \right) \Rightarrow d \bot a\,\,\forall a \in \left( P \right)\).

b) Xác định góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.

c) Đổi khoảng cách từ điểm \(B\) đến \(\left( {SCD} \right)\) sang \(d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Đáp án : D
(7) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

a) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B\).

b) Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD\) ta có \(HK//AD//BC \Rightarrow CD \bot HK\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HK\\CD \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow CD \bot HK\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SK \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset HK \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SK;HK} \right) = \angle SKH\).

Xét tam giác vuông \(SBH\) ta có \(SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {5{a^2} - {a^2}} = 2a\).

Xét tam giác vuông \(SHK\) ta có : \(\tan \angle SKH = \dfrac{{SH}}{{HK}} = \dfrac{{2a}}{{2a}} = 1 \Rightarrow \angle SKH = {45^0}\).

c) Trong \(\left( {SHK} \right)\) kẻ \(HM \bot SK\,\,\left( {M \in SK} \right)\) ta có: \(CD \bot \left( {SHK} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow CD \bot HM\).

\(\left\{ \begin{array}{l}HM \bot CD\\HM \bot SK\end{array} \right. \Rightarrow HM \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HM\).

Do \(AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HM\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SHK\) ta có: \(HM = \dfrac{{SH.HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \dfrac{{2a.2a}}{{\sqrt {4{a^2} + 4{a^2}} }} = \dfrac{{4{a^2}}}{{2\sqrt 2 a}} = a\sqrt 2 \).

Vậy \(\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = a\sqrt 2 \).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.