Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và

Câu hỏi số 310022:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), \(SB = a\sqrt 5 \).

a) Chứng minh tam giác \(SBC\) vuông.

b) Tính góc giữa mặt bên \(\left( {SCD} \right)\) và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\).

c) Tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).

A. \(\begin{array}{l}
b)\,\,{45^0}\\
c)\,\,\dfrac{a\sqrt 3}{2}
\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}
b)\,\,{45^0}\\
c)\,\,a\sqrt 3
\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}
b)\,\,{60^0}\\
c)\,\,a\sqrt 2
\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}
b)\,\,{45^0}\\
c)\,\,a\sqrt 2
\end{array}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:310022

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lí \(d \bot \left( P \right) \Rightarrow d \bot a\,\,\forall a \in \left( P \right)\).

b) Xác định góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.

c) Đổi khoảng cách từ điểm \(B\) đến \(\left( {SCD} \right)\) sang \(d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Giải chi tiết

a) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B\).

b) Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD\) ta có \(HK//AD//BC \Rightarrow CD \bot HK\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HK\\CD \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow CD \bot HK\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SK \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset HK \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SK;HK} \right) = \angle SKH\).

Xét tam giác vuông \(SBH\) ta có \(SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {5{a^2} - {a^2}} = 2a\).

Xét tam giác vuông \(SHK\) ta có : \(\tan \angle SKH = \dfrac{{SH}}{{HK}} = \dfrac{{2a}}{{2a}} = 1 \Rightarrow \angle SKH = {45^0}\).

c) Trong \(\left( {SHK} \right)\) kẻ \(HM \bot SK\,\,\left( {M \in SK} \right)\) ta có: \(CD \bot \left( {SHK} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow CD \bot HM\).

\(\left\{ \begin{array}{l}HM \bot CD\\HM \bot SK\end{array} \right. \Rightarrow HM \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HM\).

Do \(AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HM\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SHK\) ta có: \(HM = \dfrac{{SH.HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \dfrac{{2a.2a}}{{\sqrt {4{a^2} + 4{a^2}} }} = \dfrac{{4{a^2}}}{{2\sqrt 2 a}} = a\sqrt 2 \).

Vậy \(\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = a\sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.