Cho đa thức \(P\left( x \right) = a\,{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có các hệ số \(a,b,c,d\) nguyên. Biết

Câu hỏi số 311969:

Vận dụng cao

Cho đa thức \(P\left( x \right) = a\,{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có các hệ số \(a,b,c,d\) nguyên. Biết \(P\left( x \right) \vdots 5\) với mọi số nguyên \(x.\) Chứng minh : \(a;b;c;d\) chia hết cho 5.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:311969

Phương pháp giải

Thay các giá trị \(x = 0\,;\,x = 1\,;\,x = - 1\,;\,x = 2\) vào \(P\left( x \right)\) kết hợp tính chất chia hết của một tổng để chứng minh.

Giải chi tiết

Ta có \(P\left( 0 \right) = d \Rightarrow d \vdots 5\)

\(P\left( 1 \right) = a + b + c + d\) \( \Rightarrow \left( {a + b + c + d} \right) \vdots 5\) (1) \( \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) \vdots 5\) (do \(d \vdots 5\))

\(P\left( { - 1} \right) = - a + b - c + d \Rightarrow \left( { - a + b - c + d} \right) \vdots 5\) (2)

Cộng (1) và (2) ta có: \(\left( {2b + 2d} \right) \vdots 5\)

Mà \(d \vdots 5 \Rightarrow 2d \vdots 5 \Rightarrow 2b \vdots 5 \Rightarrow b \vdots 5\)

\(P\left( 2 \right) = 8a + 4b + 2c + d \Rightarrow \left( {8a + 4b + 2c + d} \right) \vdots 5\)

\( \Rightarrow \left( {8a + 2c} \right) \vdots 5\) (vì \(\left( {4b + d} \right) \vdots 5\))

\( \Rightarrow \left( {6a + 2a + 2c} \right) \vdots 5 \Rightarrow \left[ {6a + 2\left( {a + c} \right)} \right] \vdots 5\)

Mà \(\left( {a + c} \right) \vdots 5\) (vì \(\left( {a + b + c} \right) \vdots 5\) và \(b \vdots 5\))

\( \Rightarrow 6a \vdots 5 \Rightarrow a \vdots 5 \Rightarrow c \vdots 5\)

Vậy a, b, c, d chia hết cho 5.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link