Gọi \(\alpha ,\,\beta ,\,\gamma \) lần lượt là góc giữa các đường thẳng \(OA,\,OB,\,OC\) với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \cos \alpha + cos\beta + cos\gamma \).

Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,OB,\,OC\) đôi một vuông góc với nhau.

Câu 312425: Gọi \(\alpha ,\,\beta ,\,\gamma \) lần lượt là góc giữa các đường thẳng \(OA,\,OB,\,OC\) với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức \(P = \cos \alpha + cos\beta + cos\gamma \).

A. \({P_{\max }} = 6 \)

B. \({P_{\max }} = -6 \)

C. \({P_{\max }} = \sqrt 6 \)

D. \({P_{\max }} =- \sqrt 6 \)

Xem lời giải

Câu hỏi : 312425

Phương pháp giải:

+) Gọi H là trực tâm tam giác \(ABC\). Chứng minh \(OH \bot \left( {ABC} \right)\). Từ đó xác định các góc \(\alpha ,\,\,\beta ,\,\,\gamma \).

+) Chứng minh \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\), từ đó chứng minh \({\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma = 1\).

+) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\).

Đáp án : C
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Trong \(\left( {OBC} \right)\) kẻ \(OM \bot BC\), trong \(\left( {OAM} \right)\) kẻ \(OH \bot AM\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OM\\BC \bot OA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OAM} \right) \Rightarrow BC \bot OH\).

Lại có \(OH \bot AM \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle \left( {OA;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {OA;HA} \right) = \angle OAH = \alpha \\\,\,\,\,\,\,\angle \left( {OB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {OB;HB} \right) = \angle OBH = \beta \\\,\,\,\,\,\angle \left( {OC;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {OC;HC} \right) = \angle OCH = \gamma \end{array}\)

Ta có: \(\sin \alpha = \dfrac{{OH}}{{OA}};\,\,\sin \beta = \dfrac{{OH}}{{OB}};\,\,\sin \gamma = \dfrac{{OH}}{{OC}}\)

\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma = O{H^2}\left( {\dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}} \right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC ta có \(\dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{1}{{O{M^2}}}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM ta có:

\(\dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}}\)

\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma = O{H^2}\left( {\dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}} \right) = O{H^2}.\dfrac{1}{{O{H^2}}} = 1\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\begin{array}{l}{P^2} = {\left( {P = \cos \alpha + cos\beta + cos\gamma } \right)^2} \le \left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\cos }^2}\alpha + co{s^2}\beta + co{s^2}\gamma } \right)\\ \Rightarrow {P^2} \le 3\left[ {3 - \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\sin }^2}\beta + {{\sin }^2}\gamma } \right)} \right] = 3\left[ {3 - 1} \right] = 6\\ \Leftrightarrow - \sqrt 6 \le P \le \sqrt 6 \end{array}\)

Vậy \({P_{\max }} = \sqrt 6 \). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.