a) Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rẳng \({p^2} - 1\) chia hết cho 24. b) Cho phương

Câu hỏi số 313183:

Vận dụng

a) Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rẳng \({p^2} - 1\) chia hết cho 24.

b) Cho phương trình \({x^2} - 2mx - m - 4 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa \(\frac{1}{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}\) đạt giá trị lớn nhất.

A. \(m = - \frac{1}{4}\)

B. \(m = \frac{1}{4}\)

C. \(m = - \frac{1}{2}\)

\(m = \frac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:313183

Phương pháp giải

a) Chú ý một số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1. Phân tích 24 = 8.3

b) Sử dụng hệ thức Vi-et đưa biểu thức đã cho về ẩn m sau đó tìm m.

Giải chi tiết

a) Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rẳng \({p^2} - 1\) chia hết cho 24.

Ta có nhận xét sau: Nếu \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3 thì \({p^2} \equiv 1\,\,(\bmod 24)\) (1).

Lại có: \( - 1 \equiv 23\,\,(\bmod 24)\) (2).

Cộng vế với vế của \((1),\,\,(2)\) ta được: \({p^2} - 1 \equiv 24\,\,(mod24) \equiv 0\,\,(\bmod 24)\).

Vậy \({p^2} - 1\) chia hết cho 24 với \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3.

b) Cho phương trình \({x^2} - 2mx - m - 4 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa \(\frac{1}{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}\) đạt giá trị lớn nhất.

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} + m + 4 > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0\,\,\,\forall m.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = - m - 4\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có : \(\frac{1}{{{x_1}^2 + {x_2}^2}} = \frac{1}{{{{({x_1} + {x_2})}^2} - 2{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{{4{m^2} + 2m + 8}} = \frac{1}{{2{{\left( {\sqrt 2 m + \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} + \frac{{31}}{4}}} \le \frac{1}{{\frac{{31}}{4}}} = \frac{4}{{31}}\)

Ta có: \(4{m^2} + 2m + 8 = 2\left( {2{m^2} + 2.\sqrt 2 m.\frac{1}{{2\sqrt 2 }} + \frac{1}{8}} \right) - \frac{1}{4} + 8 = 2{\left( {\sqrt 2 m + \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} \ge \frac{{31}}{4}.\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{4{m^2} + 2m + 8}} \Leftrightarrow \frac{1}{{2{{\left( {\sqrt 2 m + \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} + \frac{{31}}{4}}} \le \frac{4}{{31}}.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt 2 m + \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4}.\)

Vậy \(Max\frac{1}{{{x_1}^2 + {x_2}^2}} = \frac{4}{{31}}\,\,khi\,\,m = - \frac{1}{4}.\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link