Cho nửa đường tròn \((O;R)\) có đường kính AB. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của \((O)\)

Câu hỏi số 313190:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn \((O;R)\) có đường kính AB. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của \((O)\) tại B. Trên cung AB lấy điểm M tùy ý (M khác A, B), tia AM cắt đường thẳng d tại N. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AM, tia CO cắt đường thẳng d tại điểm D.

a) Chứng minh tứ giác OBNC nội tiếp.

b) Gọi E là hình chiếu của N trên đoạn AD. Chứng minh rằng ba điểm N, O, E thẳng hàng và \(\frac{{NE.AD}}{{ND}} = 2R\).

c) Chứng minh rằng \(CA.CN = CO.CD\)

d) Xác định vị trí của điểm M để \(2AM + AN\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:313190

Phương pháp giải

+) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp.

+) Chứng minh các tam giác đồng dạng hoặc các công thức tính diện tích tam giác để từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác OBNC nội tiếp.

Ta có: \(C\) là trung điểm của đoạn \(AM \Rightarrow OC \bot AM = \left\{ C \right\}\,\,hay\,\,\angle OCM = {90^0}\) (mối quan hệ giữa đường kính và dây cung).

Có \(AB \bot BN = \left\{ B \right\}\,\,hay\,\,\angle OBN = {90^0}\) (d là tiếp tuyến của đường tròn tại B).

Xét tứ giác \(OBNC\) ta có: \(\angle OCN + \angle CBN = {180^0}\)

\( \Rightarrow CBNC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb). (đpcm)

b) Gọi E là hình chiếu của N trên đoạn AD. Chứng minh rằng ba điểm N, O, E thẳng hàng và \(\frac{{NE.AD}}{{ND}} = 2R\).

Xét \(\Delta ADN\) ta có: \(AB,\,\,DO\) là hai đường cao của tam giác.

Mà \(AB \cap CD = \left\{ O \right\} \Rightarrow O\) là trực tâm của \(\Delta AND\)

Lại có \(NE\) là đường cao còn lại của \(\Delta AND\) nên ba điểm N, O, E thẳng hàng. (đpcm)

Ta có: \({S_{\Delta AND}} = \frac{1}{2}AB.ND = \frac{1}{2}NE.AD\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow AB.ND = NE.AD\\ \Leftrightarrow AB = \frac{{NE.AD}}{{ND}} = 2R\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

c) Chứng minh rằng \(CA.CN = CO.CD\)

Ta có: \(\angle CAO = \angle MBN\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BM)

Lại có: \(MB//CD\,\,\left( { \bot CM} \right) \Rightarrow \angle NBM = \angle CDN\,\,\) (hai góc đồng vị)

\( \Rightarrow \angle CAO = \angle CDN\,\,\left( { = \angle MBN} \right).\)

Xét \(\Delta CAO\) và \(\Delta CDN\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle CAO = \angle CDN\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle ACO = \angle NCD = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta CAO \sim \Delta CDN\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{CA}}{{CD}} = \frac{{CO}}{{CN}} \Leftrightarrow CA.CN = CD.CO\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

d) Xác định vị trí của điểm M để \(2AM + AN\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABN\) vuông tại \(B\) và có đường cao \(MB\) ta có:

\(AM.AN = A{B^2} = {(2R)^2} = 4{R^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\(2AM + AN \ge 2\sqrt {2AM.AN} = 2\sqrt {8{R^2}} = 4\sqrt 2 R\) (không đổi).

Vậy Min \(Min\left( {2AM + AN} \right) = 4\sqrt 2 \Leftrightarrow AM = \frac{{AN}}{2} \Leftrightarrow M\) là điểm chính giữa cung \(AB.\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link