Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB = 2R\). Điểm C (khác A) bất kì nằm trên

Câu hỏi số 314207:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB = 2R\). Điểm C (khác A) bất kì nằm trên nửa đường tròn sao cho \(AC < CB\). Điểm D thuộc cung nhỏ BC sao cho \(\angle COD = {90^o}\) . Gọi E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm của AC và BD.

1) Chứng minh CEDF là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh \(FC.FA = FD.FB\).

3) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh IC là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

4) Hỏi khi C thay đổi thỏa mãn điều kiện bài toán, E thuộc đường tròn cố định nào?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:314207

Phương pháp giải

+) Chứng minh CEDF là tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^o}\)

+) Chứng minh hai tam giác chứa các cạnh trong hệ thức đồng dạng từ đó suy ra đpcm

+) Chứng minh \(IC \bot OC\) bằng cách tính \(\angle IC{\rm{O}} = {90^o}\)

Giải chi tiết

1) Chứng minh CEDF là tứ giác nội tiếp.

Ta có \(\angle ACB = \angle ADB = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \angle FCE = \angle FDE = {90^o}\)

Tứ giác CEDF có: \(\angle FCE + \angle FDE = {180^o}\)

Mà hai góc này là hai góc đối của tứ giác \(CEDF.\)

\( \Rightarrow \) CEDF là tứ giác nội tiếp (dhnb).

2) Chứng minh \(FC.FA = FD.FB\).

Xét \(\Delta FCB\) và \(\Delta FDA\) có:

\(\begin{array}{l}\angle F\;\;chung\\\angle FCB = \angle FDA = {90^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta FCB \sim \Delta FDA\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{FC}}{{FD}} = \frac{{FB}}{{FA}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\( \Rightarrow FC.FA = FD.FB\;\;\left( {dpcm} \right).\)

3) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh IC là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

Ta có: \(OA = OC = R \Rightarrow \Delta OAC\) cân tại O \( \Rightarrow \angle OAC = \angle OCA\) (hai góc kề đáy của tam giác cân) (1)

Lại có: I là trung điểm của EF, \(\Delta ECF\) vuông tại \(C\)

\( \Rightarrow IC = IF = IE\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow \Delta ICF\) cân tại I \( \Rightarrow \angle ICF = \angle IFC\) (hai góc kề đáy của tam giác cân) (2)

Xét \(\Delta FAB\) có \(AD \bot BF\,\, ; \,\,BC \bot AF\,\,;\,\,AD \cap BC = \left\{ E \right\}\)

\( \Rightarrow \) E là trực tâm của \(\Delta FAB\) \( \Rightarrow FE \bot AB\) (ba đường cao của tam giác cắt nhau tại 1 điểm).

Gọi FE vuông góc với AB tại H

Xét \(\Delta FHA\) vuông tại H \( \Rightarrow \angle HFA + \angle HAF = {90^o}\) hay \(\angle IFC + \angle OAC = {90^o}\;\;\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \angle ICF + \angle OCA = \angle IFC + \angle OAC = {90^o}\) (cmt)

\( \Rightarrow \angle ICO = {90^o} \Rightarrow IC \bot OC\)

Kết hợp \(C \in \left( O \right) \Rightarrow \) IC là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\). (đpcm)

4) Hỏi khi C thay đổi thỏa mãn điều kiện bài toán, E thuộc đường tròn cố định nào?

Chứng minh tương tự c) ta cũng được \(ID \bot OD\)

\( \Rightarrow ICOD\) là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).

Lại có \(OC = OD = R\) \( \Rightarrow ICOD\) là hình vuông cạnh R (dhnb)

\( \Rightarrow IC = OD = R\)

Mà \(IE = IC\left( {cmt} \right) \Rightarrow IE = R.\)

Gọi T là điểm chính giữa cung AB không chứa C (T cố định).

\( \Rightarrow OT \bot AB\) mà \(FE \bot AB\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow OT//FE\) hay \(OT//IE\) (từ vuông góc đến song song)

Mặt khác \(OT = IE = R\) \( \Rightarrow IETO\) là hình bình hành (dhnb)

\( \Rightarrow TE = OI = R\sqrt 2 \) (\(ICOD\) là hình vuông cạnh R)

Vậy E thuộc \(\left( {T;R\sqrt 2 } \right).\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link