Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại
Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E, CF cắt BE tại H.
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF . Tính số đo cung EHF , diện tích hình quạt IEHF của đường tròn \(\left( I \right)\) nếu \(\angle BAC = {60^o},\,\,AH = 4cm\).
c) Gọi AH cắt BC tại D .Chứng minh FH là tia phân giác của\(\angle DFE\).
d) Chứng minh rằng hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại E , F và AH đồng quy tại một điểm.
Quảng cáo
a) Chứng minh AEHF là tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^o}\)
b) Áp dụng công thức tính diện tích hình quạt \(S = \frac{{\pi .{r^2}.{n^o}}}{{{{360}^o}}}\)
c) Chứng minh \(\angle HFE = \angle HFD\) thông qua các tứ giác nội tiếp và tam giác vuông.
d) Chứng minh EI, FI là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại E và F từ đó suy ra đpcm
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn.
Ta có \(\angle BFC = \angle BEC = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \angle AFH = \angle AEH = {90^o}\)
Tứ giác AEHF có: \(\angle AFH + \angle AEH = {180^o}\)
Mà hai góc này là hai góc đối diện của tứ giác \(AEHF\)
\( \Rightarrow \) AEHF là tứ giác nội tiếp (dhnb).
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF . Tính số đo cung EHF , diện tích hình quạt IEHF của đường tròn \(\left( I \right)\) nếu \(\angle BAC = {60^o},\,\,AH = 4cm\).
Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF mà \(\angle AFH = \angle AEH = {90^o}\)
\( \Rightarrow \) I là trung điểm của AH \( \Rightarrow AI = \frac{{AH}}{2} = 2cm\)
Xét \(\left( I \right)\) có: \(\angle BAC = {60^o}\)
\( \Rightarrow \) sđ cung \(EHF\)\( = 2.\angle BAC = {120^o}\) (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn).
Diện tích hình quạt IEHF của đường tròn \(\left( I \right)\) là:
\(S = \frac{{\pi .{r^2}.{n^o}}}{{{{360}^o}}} = \frac{{\pi {{.2}^2}{{.120}^o}}}{{{{360}^o}}} = \frac{4}{3}\pi \,\,(c{m^2})\)
c) Gọi AH cắt BC tại D .Chứng minh FH là tia phân giác của\(\angle DFE\).
Ta có: \(\angle BFC,\;\;\angle BEC\) là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right).\)
\( \Rightarrow \angle BEC = \angle BFC = {90^0}\;\;hay\;\;BE \bot AC,\;\;CF \bot AB.\)
Xét \(\Delta ABC\) có: \(BE \bot AC\,\,;\,\,CF \bot AB\;\;\left( {cmt} \right)\) mà \(CF \cap BE = \left\{ H \right\}\)
\( \Rightarrow \) H là trực tâm của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow AH \bot BC = \left\{ D \right\}.\)
Xét tứ giác BFHD có: \(\angle HFB + \angle HDB = {90^o} + {90^o} = {180^o}\)mà 2 góc ở vị trí đối nhau
\( \Rightarrow \) Tứ giác BFHD nội tiếp đường tròn (dhnb).
\( \Rightarrow \angle HBD = \angle HFD\) (các góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
Tứ giác AEHF nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle HFE = \angle HAE\) (các góc nội tiếp cùng chắn cung HE).
Mà \(\angle HBD = \angle HAE\) (cùng phụ với \(\angle ACB\)) \( \Rightarrow \angle HFE = \angle HFD\)
\( \Rightarrow \) FH là tia phân giác của \(\angle DFE\). (đpcm)
d) Chứng minh rằng hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại E , F và AH đồng quy tại một điểm.
Xét \(\Delta AEH\) vuông tại E có : I là trung điểm của AH \( \Rightarrow IE = IH\)
\( \Rightarrow \Delta IEH\) cân tại I \( \Rightarrow \angle IEH = \angle IHE\) (hai góc kề đáy)
Mà \(\angle BHD = \angle IHE\) (đối đỉnh)
\(\angle BHD = \angle ECO\) (cùng phụ với \(\angle EBC\))
\(\angle ECO = \angle OEC\) (\(\Delta OEC\) cân tại O)
\( \Rightarrow \angle IEH = \angle OEC\)
Mặt khác: \(\angle OEC + \angle OEH = {90^o} \Rightarrow \angle IEH + \angle OEH = {90^o} \Rightarrow \angle OEI = {90^o}\)
\( \Rightarrow \) EI là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại E
Chứng minh tương tự có : FI là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại F mà I là trung điểm của AH
\( \Rightarrow \) Hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại E , F và AH đồng quy tại I (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
