Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, C là một điểm trên đường tròn và D là một điểm
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, C là một điểm trên đường tròn và D là một điểm trên đoạn \(OA\,(C \ne A,B;D \ne A,O).\) Đường thẳng vuông góc với CD tại C tương ứng cắt các tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A và B ở M và N.
1) Chứng minh tứ giác ADCM nội tiếp và tứ giác BDCM nội tiếp.
2) Chứng minh rằng \(MD \bot DN.\)
3) Chứng minh rằng các tam giác ADC và BNC đồng dạng.
4) Các đường thẳng AC, DM cắt nhau ở P, các đường thẳng BC, DN cắt nhau ở Q. Chứng minh rằng \(PQ//AB.\)
Quảng cáo
1) Chứng minh \(\angle DCM + \angle MAB = {180^0};\angle NDC + \angle NBD = {180^0}\) suy ra tứ giác ADCM và BDCN là tứ giác nội tiếp.
2) Ta chứng minh \(\angle CMD + \angle CND = {90^0} \Rightarrow \angle MDN = {90^0} \Rightarrow MD \bot DN.\)
3) Chứng minh \(\angle BCN = \angle ACD,\angle CAD = \angle CBN\) suy ra các tam giác ADC và BNC đồng dạng (g-g).
4) Chứng minh hai góc đồng vị bằng nhau \(\angle CPQ = \angle CAD \Rightarrow PQ//AB.\)
1) Chứng minh tứ giác ADCM nội tiếp và tứ giác BDCM nội tiếp.
Theo bài ra ta có: \(\angle DCM = \angle NCD = {90^0}.\)
Do AM, BN là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB nên \(\angle NBA = \angle MAB = {90^0}.\)(tính chất)
Tứ giác \(ADMC\) có: \(\angle MAD + \angle MCD = {180^0} \Rightarrow ADCM\) là tứ giác nội tiếp (dhnb). (đpcm)
Tứ giác \(BDCN\) có: \(\angle NBD + \angle DCN = {180^0} \Rightarrow BDCN\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).(đpcm)
2) Chứng minh \(MD \bot DN.\)
Ta có tứ giác ADCM, BDCN là tứ giác nội tiếp suy ra \(\angle CAD = \angle CMD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD)
\(\angle CND = \angle CBD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD)
\( \Rightarrow \angle CAD + \angle CBA = \angle CMD + \angle CND.\;\;\;\left( 1 \right)\)
Ta lại có \(\angle ACB\) là góc chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\angle ACB = {90^0}\).
Trong tam giác ACB có:
\(\angle ACB = {90^0} \Rightarrow \angle CAB + \angle CBA = {90^0}\;\;\;\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle CMD + \angle CND = {90^0}\\ \Rightarrow \angle MDN = {90^0} \Rightarrow MD \bot DN\;\;(dpcm).\end{array}\)
3) Chứng minh rằng các tam giác ADC và BNC đồng dạng.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle DCB + \angle BCN = {90^0}\;\;\;\left( {DC \bot MN} \right)\\\angle DCB + \angle ACD = {90^0}\;\;\left( {\angle ACB = {{90}^0}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \angle BCN = \angle ACD\;\;\;(3)\)
Ta lại có: \(\angle DMC = \angle CAD\) (cm b)
\(\angle CAD = \angle CBN\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC).
\( \Rightarrow \angle CAD = \angle CBN\;\;\;(4)\) \(\)
Từ (3) và (4) ta có: \(\Delta ADC \sim \Delta BNC\;\;\left( {g - g} \right)\;\;\left( {dpcm} \right).\)
4) Các đường thẳng AC, DM cắt nhau ở P, các đường thẳng BC, DN cắt nhau ở Q. Chứng minh rằng \(PQ//AB.\)
Xét tứ giác \(CPDQ\) ta có: \(\angle PCQ + \angle PDQ = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
\( \Rightarrow CPDQ\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
\( \Rightarrow \angle CPQ = \angle CDQ\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CQ).
Tứ giác \(CDBN\) nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle CDN = \angle CBN\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN)
\( \Rightarrow \angle CPQ = \angle CBN\left( { = \angle DCN} \right).\)
Mà \(\angle CAD = \angle CBN\;\;\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \angle CPQ = \angle CAD\;\left( { = \angle CBN} \right)\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị \( \Rightarrow QP//AB\;\;\left( {dpcm} \right).\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
