Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + {y^2} + 3xy = 12\\2{\left( {x + y} \right)^2} - {y^2} =

Câu hỏi số 315775:

Vận dụng

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + {y^2} + 3xy = 12\\2{\left( {x + y} \right)^2} - {y^2} = 14\end{array} \right.\). Các cặp nghiệm dương của hệ phương trình là :

A. \(\left( {1;2} \right),\,\,\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)

B. \(\left( {2;1} \right),\,\,\left( {\sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right)\)

C. \(\left( {\dfrac{2}{3};3} \right),\,\,\left( {\sqrt 3 ;\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)\)

D. \(\left( {\dfrac{1}{2};1} \right),\,\,\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{3};\sqrt 3 } \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:315775

Phương pháp giải

Chia vế cho vế hai phương trình.

Giải chi tiết

\(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + {y^2} + 3xy = 12\\2{\left( {x + y} \right)^2} - {y^2} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + {y^2} + 3xy = 12\,\,\left( 1 \right)\\2{x^2} + {y^2} + 4xy = 14\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Chia vế cho vế (1) cho (2) ta được :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{2{x^2} + {y^2} + 3xy}}{{2{x^2} + {y^2} + 4xy}} = \dfrac{6}{7}\\ \Leftrightarrow 14{x^2} + 7{y^2} + 21xy = 12{x^2} + 6{y^2} + 24xy\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + {y^2} - 3xy = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Dễ thấy \(y = 0\) không là nghiệm của hệ phương trình \( \Rightarrow y \ne 0\).

Chia cả 2 vế của (*) cho \({y^2} \ne 0\) ta có: \(2\dfrac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + 1 - \dfrac{{3x}}{y} = 0\). Đặt \(t = \dfrac{x}{y}\) ta có:

\(2{t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{x}{y} = 1\\\dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\2x = y\end{array} \right.\)

Thay \(x = y\) vào (1) ta có: \(2{x^2} + {x^2} + 3{x^2} = 12 \Leftrightarrow 6{x^2} = 12 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 = y\).

Thay \(y = 2x\) vào (1) ta có: \(2{x^2} + 4{x^2} + 6{x^2} = 12 \Leftrightarrow 12{x^2} = 12 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;\,\,y = 2\\x = - 1;\,\,y = - 2\end{array} \right.\)

Vậy các nghiệm dương của hệ là \(\left( {1;2} \right),\,\,\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.