Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cố định (d và (O) không có điểm chung). Lấy M là điểm

Câu hỏi số 315864:

Vận dụng

Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cố định (d và (O) không có điểm chung). Lấy M là điểm di động trên đường thẳng d. Vẽ hai tiếp tuyến MA và MB phân biệt và cát tuyến MCD với (O) sao cho C nằm giữa M và D, CD không đi qua tâm O. Vẽ dây cung DN song song với AB. Gọi I là giao điểm của CN và AB. Chứng minh rằng:

a) \(\frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{BC}}{{BD}}\) và \(IA = IB.\)

b) Điểm I luôn thuộc một đường cố định khi M di chuyển trên đường thẳng d.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:315864

Phương pháp giải

+) Sử dụng các tính chất của các góc trong đường tròn, chứng minh các cặp tam giác đồng dạng từ đó suy ra các tỉ lệ cần chứng minh.

Giải chi tiết

a) \(\frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{BC}}{{BD}}\) và \(IA = IB\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có:

\(\angle CAB = \angle CDB\) (hai góc nội tiếp chắn cung BC) (1)

Ta có: \(ND//AB \Rightarrow sd\;cung\;AN = sd\;cung\;BD.\;\;\)

Mà \(\angle ACN\) là góc nội tiếp chắn cung \(AN\)

\(\angle DCB\) là góc nội tiếp chắn cung \(BD.\)

\( \Rightarrow \angle ACN = \angle BCD\;\;\left( { = \frac{1}{2}sd\;AN = \frac{1}{2}sd\;BD} \right).\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Leftrightarrow \Delta ACI \sim \Delta DCB\;\;\left( {g - g} \right).\)

\( \Rightarrow \frac{{AI}}{{DB}} = \frac{{CI}}{{CB}} = \frac{{AC}}{{DC}} \Leftrightarrow \frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{BC}}{{BD}}\;\;\left( {dpcm} \right).\)

Chứng minh tương tự ta có \(\frac{{IC}}{{IB}} = \frac{{AC}}{{AD}}\)

Xét \(\Delta MBC\) và \(\Delta MDB\) ta có:

\(\angle DMB\;\;chung\)

\(\angle MBC = \angle MDB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC)

\( \Rightarrow \Delta MBC \sim \Delta MDB\;\;\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{MB}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MB}} = \frac{{BC}}{{DB}}\) (các cặp cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta MAC \sim \Delta MDA\;\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{AC}}{{AD}}.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{IC}}{{IB}} = \frac{{MA}}{{MD}}\left( { = \frac{{AC}}{{AD}}} \right)\\\frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{MB}}{{MD}}\;\left( { = \frac{{BC}}{{BD}}} \right)\end{array} \right.\)

Mà \(MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow IA = IB\;\;\left( {dpcm} \right).\)

b) Điểm I luôn thuộc một đường cố định khi M di chuyển trên đường thẳng d.

Kẻ \(OH \bot d = \left\{ H \right\}.\) Gọi \(\left\{ K \right\} = OH \bot AB.\)

Vì \(IA = IB\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow M,\;I,\;O\) thẳng hàng và \(MO \bot AB = \left\{ O \right\}.\)

Xét \(\Delta OIK\) và \(\Delta OHM\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle IOK\;\;chung\\\angle OIK = \angle OHM = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta OIK \sim \Delta OHM\;\;\left( {g - g} \right).\\ \Rightarrow \frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OK}}{{OM}} \Rightarrow OI.OM = OH.OK.\end{array}\)

Lại có: \(O{B^2} = OI.OM\) (hệ thức lượng trong \(\Delta OBM\) vuông tại \(B\) và có đường cao \(BI\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow O{B^2} = OH.OK\;\;\left( { = OI.OM} \right)\\ \Rightarrow OK = \frac{{O{B^2}}}{{OH}}.\end{array}\)

Mà \(OB = {R^2},\;\;OH = d\left( {O;\;d} \right)\) không đổi \( \Rightarrow OK\) không đổi hay \(K\) cố định.

Vì \(OI \bot IB,\;\;O,\;K\) cố định nên ta có I thuộc đường tròn đường kính \(OK\) cố định. (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link