Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2√2. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SD theo a

Câu hỏi số 31677:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2√2. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 45⁰. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SD theo a

A. V = $\frac{\sqrt{2}}{3}$ a³; d = $\frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}$

B. V = $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ a³; d = $\frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}$

C. V = $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ a³; d = $\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}$

D. V = $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ a³; d= $\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:31677

Giải chi tiết

Gọi H là trọng tâm tam giác BCD.

Theo giả thiết SH ⊥ (ABCD)

Gọi O = AC ∩ BD => CH = $\frac{2}{3}$ .CO = $\frac{1}{3}$ .AC = a

SA tạo với đáy góc 45⁰ suy ra $\widehat{SAH}$ = 45⁰

=> SH = AH = 2a

Gọi V là thể tích của khối hộp S.ABCD thì

V = $\frac{1}{3}$ .S_ABCD.SH = $\frac{1}{3}$ .a.2√2.a.2a = $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ .a³

Gọi M là trung điểm của SB . Mặt phẳng (ACM) chứa AC và //SD. Do đó

d(SD; AC) = d(SD; (ACM)) = d(D; (ACM)). Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Trong đó A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; 2√2; 0), S( $\frac{2a}{3};\frac{4\sqrt{2}}{3}$ .a; 2a), C(a; 2√2a; 0)

và M( $\frac{5a}{6};\frac{2\sqrt{2}a}{3}$ ; a)

$\overline{AC}$ = (a; 2√2a; 0) $\overline{AM}=(\frac{5a}{6};\frac{2\sqrt{2}a}{3};a)\Rightarrow \overline{AC}\wedge \overline{AM}=(2\sqrt{2}a^{2};-a^{2};-\sqrt{2}a^{2})$

Mặt phẳng (ACM) đi qua điểm A và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (2√2; -1; -√2) nên có phương trình là 2√2.x - y - √2z = 0

=> d $\Rightarrow d(D;(ACM))=\frac{\begin{vmatrix} -2\sqrt{2}a \end{vmatrix}}{\sqrt{8+1+2}}=\frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.