a) Cho các số a, b, c thỏa mãn: \(a + b + c = \frac{3}{2}.\) Chứng minh rằng: \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge

Câu hỏi số 316866:

Vận dụng cao

a) Cho các số a, b, c thỏa mãn: \(a + b + c = \frac{3}{2}.\) Chứng minh rằng: \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{3}{4}.\)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + 2{y^2} + 2xy-6x-8y + 2028?\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:316866

Phương pháp giải

a) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh yêu cầu của đề bài.

b) Biến đổi biểu thức P thành dạng \({A^2} + {B^2} + C = 0\) (Với ẩn \(x,\;y\) nằm trong \({A^2},{\rm{ }}{B^2};{\rm{ }}C\) là một hằng số). Khi đó: \({A^2} \ge 0;\;{B^2} \ge 0 \Rightarrow \;P = {A^2} + {B^2} + C \ge C\;\forall x,\;y \Rightarrow {P_{\min }} = C.\)

Giải chi tiết

a) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {a + b + c} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} \le 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{9}{4}.\frac{1}{3} \le {a^2} + {b^2} + {c^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{4}{3}\;\;\;\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\;\;P{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}{\rm{ + }}2{y^2} + 2xy-6x-8y + 2028\\ = \left( {{x^2} + {y^2} + 9 + 2xy-6x-6y} \right) + \left( {{y^2}-2y + 1} \right) + 2018\\ = \left[ {{x^2} + 2x\left( {y-3} \right) + \left( {{y^2}-6y + 9} \right)} \right] + \left( {{y^2}-2y + 1} \right) + 2018\\ = {\left( {x + y-3} \right)^2} + {\left( {y-1} \right)^2} + 2018.\end{array}\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y - 3} \right)^2} \ge 0\;\;\forall x,\;y\\{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\;\;\forall x,\;y\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {x + y - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\;\;\forall x,\;y\)

\( \Rightarrow {\left( {x + y - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + 2018 \ge 2018\;\forall x,\;y\) \(\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y - 3} \right)^2} = 0\\{\left( {y - 1} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - 3 = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 - y\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy \({P_{\min }} = 2018\) khi \(x = 2,\;y = 1.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link